Escolha entre as questões 1,2 e 3, UMA para resolver
3. (2,5 pontos) Considere a matriz A=[ccclambda & 0 & 1 1 & lambda-1 & 0 0 & 0 & lambda+1]. Encontre os valores reais de lambda para os quais o sistema homogêneo A X=0 admite apenas a solução trivial.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A = lambda & 0 & 1 1 & lambda-1 & 0 0 & 0 & lambda+1
e pede os valores reais de lambda para os quais o sistema homogêneo A X = 0 tem só a solução trivial. O conteúdo aqui é álgebra linear, mais precisamente a condição de invertibilidade via determinante.

Passo 2

Um sistema homogêneo A X = 0 admite apenas a solução trivial se, e somente se, A for invertível. E A é invertível exatamente quando
det(A)neq 0
Logo, vamos calcular det(A).

Passo 3

Como a terceira linha de A só tem elemento não-nulo em (3,3), podemos usar expansão de Laplace nessa linha:
det(A) = (lambda+1)det lambda & 0 1 & lambda-1 = (lambda+1)l(lambda(lambda-1)-0cdot1r) = (lambda+1),lambda,(lambda-1)

Passo 4

Para garantir det(A)neq 0 precisamos
(lambda+1),lambda,(lambda-1)neq 0,
ou seja
lambdaneq -1, lambdaneq 0, lambdaneq 1

Resposta

Os valores reais de lambda que fazem o sistema admitir apenas a solução trivial são todos os lambda tais que
lambdaneq -1, lambdaneq 0, lambdaneq 1

Exercícios relacionados