(4,0 Pontos) Dimensione* um cristalizador de ureia que satisfaça as seguintes condições:
  • Taxa de produção 75 t/dia, em que os cristais produzidos devem ser de tal tamanho que 90% devem ficar retidos em uma peneira de tamanho 65 mesh Tyler e apenas 10% deve passar por ela;
  • Alimentação: [ ureia ]=75 \%,[ biureto ]=0,3 \%,\left[\mathrm{NH}_{3}\right]=0,35 \%,\left[\mathrm{CO}_{2}\right]=0,22 \%, \mathrm{H}_{2} \mathrm{O} como solvente e concentração em massa por massa de solução, a \mathrm{T}=93^{\circ} \mathrm{C};
  • Calor de vaporização da solução na pressão no evaporador =2402,76 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};

SERVIÇO PÚBLICO FEDERAL MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
Fundação Universidade Federal de Mato Grosso do Sul
Instituto de Química

  • Calor de vaporização da solução a pressão atmosférica =2257 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};
  • Calor específico da solução =2,59 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg} /{ }^{\circ} \mathrm{C};
  • Calor de cristalização =242 \mathrm{~kJ} / \mathrm{kg};
  • Temperatura do vapor saturado =41^{\circ} \mathrm{C}
  • Água-mãe: [ uréia ]=65,73 \%, [ biureto ]=4,5 \%, a \mathrm{T}=54{ }^{\circ} \mathrm{C};
  • Água de lavagem na centrífuga: 0,12 \mathrm{~kg} / \mathrm{kg}_{\text {cristal }};
  • Água de resfriamento no condensador: 30^{\circ} \mathrm{C}.
    a) Elaborar um fluxograma do processo;
    (b) quantificar a vazão todas as espécies químicas envolvidas (uréia, cristais de uréia, biureto, \mathrm{NH}_{3}, \mathrm{CO}_{2} e água) em todas as correntes (alimentação, água-mãe, saída de cristais, purga, saída de vapor e água de lavagem);
    c) calcular o rendimento da operação em relação à material-prima inicial (soluto) e em relação à vazão de alimentação;
    d) determinar a vazão de vapor vivo utilizado para aquecer a solução no cristalizador;
    e) calcular o volume necessário no cristalizador e, com base nas informações obtidas, f) escolher um dos modelos de cristalizadores apresentados em aula para o processo e justificar sua escolha.
Adote as seguintes hipóteses:
  • \mathrm{NH}_{3} e \mathrm{CO}_{2} vaporizam completamente;
  • Todo o biureto sai na purga;
  • Velocidade de crescimento dos cristais: 2,3 \times 10^{-8} \mathrm{~m} / \mathrm{s};
  • [cristais] =450 \mathrm{~g} / \mathrm{L};
  • Cristais saem secos e a água-mãe sai saturada.

Passo 1

O enunciado pede que dimensionemos um cristalizador de ureia que produza 75 t/dia de cristais (ou seja, 75\,000\\ \mathrm{kg/dia}), com as condições abaixo: fluxo de alimentação com composição e temperatura ( T=93^\circ\mathrm{C}); na saída do cristalizador deve existir uma água-mãe (licor saturado) com composição e T=54^\circ\mathrm{C}; todo o \mathrm{NH}_3 e \mathrm{CO}_2 vaporizam; todo o biureto deve ser removido na purga; cristais saem secos; há água de lavagem na centrífuga igual a 0{,}12\\ \mathrm{kg} por kg de cristal; são dadas propriedades energéticas (calor de vaporização da solução, calor específico, calor de cristalização, temperatura do vapor saturado).
Informações relevantes (valores do enunciado):
  • produção de cristais C = 75\,000\\ \mathrm{kg/dia};
  • alimentação (frações em massa): ureia =75\%, biureto =0{,}3\%, \mathrm{NH}_3=0{,}35\%, \mathrm{CO}_2=0{,}22\%, água = resto; \;T_\text{alimentação}=93^\circ\mathrm{C}çã;
  • água-mãe (licor saturado) composição: ureia =65{,}73\%, biureto =4{,}5\%, água = resto; T_\text{água-mãe}=54^\circ\mathrm{C}áã;
  • todo o biureto sai na purga;
  • água de lavagem na centrífuga W_w = 0{,}12\\ \mathrm{kg/kg_{cristal}};
  • calor de vaporização da solução (pressão do evaporador) \lambda = 2402{,}76\\ \mathrm{kJ/kg};
  • calor específico da solução c_p=2{,}59\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot ^\circ C)};
  • calor de cristalização \Delta H_{cryst}=242\\ \mathrm{kJ/kg\; cristal};
  • temperatura do vapor saturado =41^\circ\mathrm{C};
  • velocidade de crescimento G = 2{,}3\times 10^{-8}\\ \mathrm{m/s};
  • concentração de cristais na suspensão [\text{cristais}] = 450\\ \mathrm{g/L} = 450\\ \mathrm{kg/m^3};
  • cristais saem secos e a água-mãe sai saturada;
  • hipóteses: \mathrm{NH}_3 e \mathrm{CO}_2 vaporizam completamente; toda biureto sai na purga.
Neste passo eu apenas listei o que o enunciado pede e as informações dadas (sem resolver nada ainda).

Passo 2

Montagem das balanças de massa por espécie (estratégia explicada passo a passo).
  1. Variáveis que vamos determinar: vazão de alimentação total F (kg/dia), vazão de purga P (kg/dia), vazão de vapor V (kg/dia), vazões por espécie em cada corrente. A vazão de cristais é conhecida: C=75\,000\\ \mathrm{kg/dia}. A água de lavagem é W_w = 0{,}12\cdot C = 0{,}12\cdot 75\,000 = 9\,000\\ \mathrm{kg/dia}.
  2. Raciocínio para simplificar o circuito (explicação didática): na operação contínua típica existe recirculação do licor com uma pequena purga que remove impurezas (aqui o biureto). O enunciado diz “todo o biureto sai na purga” e a composição da água-mãe (licor) é dada. Assim, a quantidade de purga necessária é determinada por um balanço de biureto. Em regime estacionário, globalmente:
  • entrada total de biureto =0{,}003\cdot F (fração em massa 0{,}3\%),
  • saída total de biureto = fração de biureto no licor \cdot massa de purga =0{,}045\cdot P.
    Como todo biureto sai na purga, 0{,}003 F = 0{,}045 P. Logo
P = \frac{0{,}003}{0{,}045}\,F = \frac{1}{15}F = 0{,}0666667\,F.
(Expliquei: peguei a fração de biureto da alimentação e a fração na água-mãe e igualei para que todo biureto seja removido pela purga.)
  1. Balanço global de ureia (explicação): a ureia entra com a alimentação 0{,}75F. Em regime estacionário a ureia que sai do processo é a massa nos cristais finais C mais a ureia que sai na purga (a fração de ureia no licor vezes P). Não há ureia no vapor (assumimos que não volatiliza) e cristais saem secos. Assim:
0{,}75F = C + 0{,}6573\cdot P.
Substituindo P=\frac{F}{15} nessa equação obtemos uma equação com a única incógnita F. Isto determina F.

Passo 3

Resolução das equações de balanço de massa (detalhando contas).
  1. Substituindo P=\dfrac{F}{15} na equação da ureia:
0{,}75F = C + 0{,}6573\cdot\frac{F}{15}.
Coloco os termos em F:
0{,}75F - 0{,}6573\cdot\frac{F}{15} = C.
Calculo numérico do coeficiente de F:
0{,}6573\cdot\frac{1}{15} = 0{,}04382,
0{,}75 - 0{,}04382 = 0{,}70618.
Logo
F = \frac{C}{0{,}70618} = \frac{75\,000}{0{,}70618}\approx 106\,200\\ \mathrm{kg/dia}.
(Expliquei: isolei F e calculei; arredondei para valores coerentes industrialmente.)
  1. Agora P = \dfrac{F}{15}:
P \approx \frac{106\,200}{15}\approx 7\,080\\ \mathrm{kg/dia}.
  1. Calcule as correntes por espécie na alimentação (multiplique as frações pela F):
  • ureia na alimentação: 0{,}75F \approx 0{,}75\cdot 106\,200 \approx 79\,650\\ \mathrm{kg/dia}.
  • biureto na alimentação: 0{,}003F \approx 318{,}6\\ \mathrm{kg/dia}.
  • \mathrm{NH}_3 na alimentação: 0{,}0035F \approx 371{,}7\\ \mathrm{kg/dia}.
  • \mathrm{CO}_2 na alimentação: 0{,}0022F \approx 233{,}6\\ \mathrm{kg/dia}.
  • água na alimentação: F - soma dos solutos =106\,200 - (79\,650+318{,}6+371{,}7+233{,}6)\approx 25\,626\\ \mathrm{kg/dia}.
    (Expliquei: esses produtos vêm direto das porcentagens dadas.)
  1. Composição da purga P (licor saturado): aplicar as frações dadas à massa de purga:
  • na purga ureia: 0{,}6573\cdot P \approx 0{,}6573\cdot 7\,080 \approx 4\,654\\ \mathrm{kg/dia}.
  • na purga biureto: 0{,}045\cdot P \approx 318{,}6\\ \mathrm{kg/dia} (confere com a entrada de biureto).
  • na purga água: 0{,}2977\cdot P \approx 2\,108\\ \mathrm{kg/dia}.
    (Expliquei: usei as percentagens da água-mãe para obter a composição da purga.)
  1. Água de lavagem:
W_w = 0{,}12\cdot C = 0{,}12\cdot 75\,000 = 9\,000\\ \mathrm{kg/dia}.
Essa água de lavagem volta (como efluente da centrífuga) para o circuito de licor (logo entra na massa líquida que precisa ser evaporada/recirculada). Na contabilidade global ela é uma entrada adicional de água no sistema.
  1. Balanço de água global para encontrar água evaporada W_{evap}: água de entrada é a água da alimentação mais a água de lavagem; água que sai é água na purga e água que sai no vapor. Assim
W_{evap} = (\text{água na alimentação}) + W_w - (\text{água na purga}).áçãá
Numérico:
W_{evap}\approx 25\,626 + 9\,000 - 2\,108 \approx 32\,518\\ \mathrm{kg/dia}.
  1. Com isso, a vazão total de vapor V (contendo água evaporada + \mathrm{NH}_3 + \mathrm{CO}_2) é
V = W_{evap} + (\mathrm{NH}_3) + (\mathrm{CO}_2)\approx 32\,518 + 371{,}7 + 233{,}6 \approx 33\,123\\ \mathrm{kg/dia}.
Resumo numérico das correntes principais (valores arredondados para apresentação):
  • Alimentação F\approx 106\,200\\ \mathrm{kg/dia} com: ureia \approx79\,650, biureto \approx318{,}6, \mathrm{NH}_3\approx371{,}7, \mathrm{CO}_2\approx233{,}6, água \approx25\,626 (todos em \mathrm{kg/dia}).
  • Saída de cristais: 75\,000\\ \mathrm{kg/dia} (ureia pura, secos).
  • Purga P\approx 7\,080\\ \mathrm{kg/dia} com: ureia \approx4\,654, biureto \approx318{,}6, água \approx2\,108.
  • Saída de vapor V\approx 33\,120\\ \mathrm{kg/dia} com: água \approx32\,518, \mathrm{NH}_3\approx372, \mathrm{CO}_2\approx234.
  • Água de lavagem: 9\,000\\ \mathrm{kg/dia}.
(Expliquei como cada número foi obtido a partir dos balanços e das frações dadas.)

Passo 4

Cálculo dos rendimentos solicitados (explicação de conceito e aplicação).
Definição de rendimento pedida:
  • rendimento em relação à matéria-prima inicial (soluto): frequentemente mede a fração da ureia alimentada que virou produto sólido. Portanto
\eta_{\text{soluto}} = \frac{\text{masa de ureia nos cristais}}{\text{masa de ureia na alimentação}} = \frac{C}{0{,}75F}.çã
Numérico:
\eta_{\text{soluto}} \approx \frac{75\,000}{79\,650}\approx 0{,}9416 \;=\;94{,}16\%.
(Expliquei: isto significa que 94,16% da ureia que entra vira cristal; o resto sai na purga dissolvido.)
  • rendimento em relação à vazão da alimentação (métrica alternativa): fração da massa total de alimentação que vira cristais:
\eta_{\text{alimentação}} = \frac{C}{F}\approx \frac{75\,000}{106\,200}\approx 0{,}706\;=\;70{,}6\%.çã
(Expliquei: 70,6% da massa que entra sai como cristais.)

Passo 5

Balanço de energia para determinar a vazão de vapor vivo (vapor de aquecimento) necessário (explicação passo a passo).
Estratégia e hipóteses didáticas:
  • O calor que o vapor vivo precisa fornecer corresponde, essencialmente, ao calor requerido para: evaporar a quantidade W_{evap} de solução (usar o calor de vaporização da solução \lambda), menos as contribuições de calor liberadas pelo resfriamento da alimentação (se a alimentação está a temperatura maior do que a água-mãe) e pela cristalização (que é exotérmica e libera calor). Ou seja, energia de vaporização menos calor liberado pelo resfriamento e cristalização.
  • Vou desprezar qualquer aquecimento adicional da água de lavagem (assumo que ela entra aproximadamente à temperatura da água-mãe) e desprezar variações de entalpia dos gases \mathrm{NH}_3 e \mathrm{CO}_2 além da sua vaporização completa (hipótese da questão). Esta simplificação é típica em dimensionamentos básicos e foi sugerida pelas informações fornecidas.
Fórmula que vou usar (explicada): energia necessária do circuito de aquecimento (fornecida por condensação do vapor vivo)
Q_{\text{req}} = W_{evap}\cdot \lambda \;-\; F\cdot c_p\cdot (T_{feed}-T_{ml}) \;-\; C\cdot \Delta H_{cryst}.
Explicação dos termos:
  • W_{evap}\cdot\lambda é a energia necessária para vaporizar W_{evap} kg de solução (usei \lambda=2402{,}76\\ \mathrm{kJ/kg} conforme enunciado).
  • F\cdot c_p\cdot (T_{feed}-T_{ml}) é a energia liberada ao resfriar a alimentação de T_{feed}=93^\circ\mathrm{C} até T_{ml}=54^\circ\mathrm{C} (essa energia ajuda a evaporar, por isso subtraí).
  • C\cdot\Delta H_{cryst} é a energia liberada pela cristalização de C kg de ureia (também ajuda a reduzir o calor a ser fornecido).
Substituindo valores (usar unidades kJ/dia):
  • W_{evap}\approx 32\,520\\ \mathrm{kg/dia},
  • \lambda=2402{,}76\\ \mathrm{kJ/kg},
  • F\approx 106\,200\\ \mathrm{kg/dia},
  • c_p=2{,}59\\ \mathrm{kJ/(kg\cdot^\circ C)},
  • T_{feed}-T_{ml}=93-54=39^\circ\mathrm{C},
  • C=75\,000\\ \mathrm{kg/dia},
  • \Delta H_{cryst}=242\\ \mathrm{kJ/kg}.
Cálculos:
  • energia para evaporação: W_{evap}\cdot\lambda \approx 32\,520\cdot 2402{,}76 \approx 78{,}140\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/dia}.
  • energia liberada pelo resfriamento: F c_p (93-54) \approx 106\,200\cdot 2{,}59\cdot 39 \approx 10{,}727\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/dia}.
  • energia liberada pela cristalização: C\Delta H_{cryst} =75\,000\cdot 242 = 18{,}150\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/dia}.
Logo
Q_{\text{req}}\approx 78{,}140\times 10^{3} - 10{,}727\times 10^{3} - 18{,}150\times 10^{3} \approx 49{,}263\times 10^{3}\\ \mathrm{kJ/dia}.
Finalmente, assumindo que cada kg de vapor vivo condensa liberando aproximadamente \lambda (usamos aqui a mesma ordem de grandeza \lambda=2402{,}76\\ \mathrm{kJ/kg} para converter energia em massa de vapor condensado, procedimento comum quando o evaporador opera a pressão compatível com esse valor dado), a vazão de vapor vivo necessária m_{steam} é
m_{steam} = \frac{Q_{\text{req}}}{\lambda} \approx \frac{49{,}263\times10^{3}}{2402{,}76}\approx 20{,}500\\ \mathrm{kg/dia}.
(Expliquei completamente a origem de cada termo da equação energética: vaporização, resfriamento da alimentação e calor de cristalização.)

Passo 6

Cálculo do volume do cristalizador (passo a passo com a física das velocidades de crescimento).
  1. Relação crescimento–tempo (conceito): se as partículas crescem com velocidade linear média G (unidades de comprimento por tempo), em muitos modelos simplificados a dimensão média final L é proporcional a G\cdot \tau, onde \tau é o tempo-residência médio na cristalisador. Assim, para obter cristais de tamanho alvo L precisamos de \tau = L/G. O enunciado pede que 90\% dos cristais fiquem retidos na peneira 65 mesh Tyler — usaremos como aproximação que o diâmetro de corte (tamanho mínimo retido) corresponde aproximadamente à abertura desta peneira. Uma aproximação prática: malhas da ordem de 65 mesh correspondem a aberturas da ordem de 200\text{--}220\\ \mu\mathrm{m}. Vou adotar L_{90}=212\\ \mu\mathrm{m}=212\times 10^{-6}\\ \mathrm{m}. (Expliquei: essa é uma aproximação comum; se houvesse tabela Tyler exata usaríamos o valor tabelado.)
  2. Tempo de residência necessário:
\tau = \frac{L_{90}}{G} = \frac{212\times 10^{-6}}{2{,}3\times 10^{-8}}\\ \mathrm{s}\approx 9{,}217\\ \mathrm{s}\approx 2{,}56\\ \mathrm{h}.
(Expliquei: dividi o comprimento desejado pela velocidade de crescimento linear.)
  1. Massa de cristais presente no cristalizador em regime estacionário (massa internamente presente = taxa de produção \times tempo-residência):
  • produção em \mathrm{kg/s}: 75\,000\\ \mathrm{kg/dia} = \dfrac{75\,000}{86\,400}\approx 0{,}86806\\ \mathrm{kg/s}.
  • massa interna de cristais = 0{,}86806\cdot 9{,}217\approx 8{,}000\\ \mathrm{kg}.
  1. Volume de suspensão necessário para comportar essa massa de cristais, usando a concentração sólida dada [\text{cristais}]=450\\ \mathrm{kg/m^3}:
V = \frac{\text{massa de cristais no reator}}{[\text{cristais}]} \approx \frac{8{,}000}{450}\approx 17{,}78\\ \mathrm{m^3}.
(Expliquei: massa = concentração \times volume, isolei o volume.)
Conclusão do cálculo de volume: V\approx 17{,}8\\ \mathrm{m^3}.

Passo 7

Escolha do modelo de cristalizador e justificativa (explicação pedagógica e prática).
  • Escolha: um cristalizador contínuo do tipo MSMPR (Mixed-Suspension Mixed-Product Removal), ou seja, um reator contínuo perfeitamente misturado com retirada do produto (o concentrado de cristais) e recirculação do licor, é o modelo mais adequado aqui.
  • Justificativa (amigável e didática):
    1. Situação do enunciado: produção contínua, necessidade de controlar composição da água-mãe (purga para remover biureto) e requisito de um tempo de residência bem definido para alcançar tamanho de cristal desejado. O MSMPR fornece um tempo médio de residência bem definido e permite controlar supersaturação, crescimento e purga.
    2. No MSMPR a distribuição de tamanhos e o tempo médio se relacionam diretamente com a velocidade de crescimento G e o tempo de residência \tau, que usamos para dimensionar o volume — portanto é o modelo natural para aplicar a relação L\approx G\tau.
    3. É um arranjo operacional simples e largamente utilizado industrialmente quando se deseja produção contínua com recirculação de licor e pequena purga para controlar impurezas (como o biureto).
  • Observação prática: se for necessário um controle mais apertado da PSD (distribuição granulométrica) pode-se usar uma linha de cristalisadores MSMPR em série (dois ou três volumes) — cada estágio reduz a dispersão da distribuição. Mas para o dimensionamento básico pedido, um único MSMPR de V\approx 17{,}8\\ \mathrm{m^3} (com projeto de mistura e área de aquecimento adequada) é justificável.

Resposta

(a) Fluxograma (descrição das correntes): Alimentação F \to cristalizador; saídas do cristalizador: cristais secos =75\,000\\ \mathrm{kg/dia}, licor (água-mãe) que é parcialmente purgada (purga P) e parcialmente recirculada; vapor V contendo água evaporada + \mathrm{NH}_3 + \mathrm{CO}_2; centrífuga trata cristais e gera água de lavagem =9\,000\\ \mathrm{kg/dia} que retorna ao licor.
(b) Vazões (aproximadas, kg/dia):
Alimentação F\approx 106\,200. Composição da alimentação: ureia \approx79\,650, biureto \approx318{,}6, \mathrm{NH}_3\approx371{,}7, \mathrm{CO}_2\approx233{,}6, água \approx25\,626.
Saída de cristais: 75\,000 (ureia pura).
Purga P\approx 7\,080 com: ureia \approx4\,654, biureto \approx318{,}6, água \approx2\,108.
Vapor V\approx 33\,120 com: água evaporada \approx32\,520, \mathrm{NH}_3\approx372, \mathrm{CO}_2\approx234.
Água de lavagem: 9\,000\\ \mathrm{kg/dia}.
(c) Rendimentos:
Rendimento em relação ao soluto (ureia na alimentação): \eta_{\text{soluto}}\approx 94{,}16\%.
Rendimento em relação à vazão de alimentação: \eta_{\text{alimentação}}\approx 70{,}6\%çã.
(d) Vazão de vapor vivo para aquecer/fornecer energia ao cristalizador (condensação necessária): m_{steam}\approx 20\,500\\ \mathrm{kg/dia}.
(e) Volume do cristalizador (MSMPR, baseado em G e L_{90}): V\approx 17{,}8\\ \mathrm{m^3}.
(f) Modelo escolhido e justificativa: MSMPR (reator contínuo perfeitamente misturado) — justificado porque o processo é contínuo, exige controle do tempo médio de residência para atingir o tamanho de partícula desejado via L\approx G\tau, e requer recirculação de licor com purga para controle de impurezas (biureto).

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