(2,0 pontos) Uma parede plana de área 2 \mathrm{~m}^{2} possui uma distribuição de temperatura unidimensional, na direçào z, dada pela equaçăo abaixo. Sabendo que a condutividade da parede é de 10 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{k}), determine a taxa de transferència de calor na referida parede, quando z=0,1 \mathrm{~m}.
T(z)=-10 \cdot z^{2}-5 \cdot z-3
Passo 1
O enunciado pede a taxa de transferência de calor através de uma parede plana, num ponto específico. As informações dadas são:
\text{Distribuição de temperatura: }T(z) = -10\cdot z^{2} - 5\cdot z - 3
A pergunta é: qual é a taxa de transferência de calor na parede quando z=0,1\\ \mathrm{m} (ou seja, z=0,1)?
Passo 2
Para calcular a taxa de transferência de calor unidimensional por condução usamos a Lei de Fourier na forma integrada para uma área A:
\dot{Q} = -\,k\,A\,\frac{dT}{dz}
Expliquei cada termo:
\dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência) em watts, \mathrm{W}.
k é a condutividade térmica, em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
A é a área perpendicular ao fluxo de calor, em \mathrm{m}^2.
\dfrac{dT}{dz} é o gradiente de temperatura na direção z, em \mathrm{K}/\mathrm{m}.
O sinal negativo aparece porque o calor flui naturalmente de regiões de temperatura maior para menor: se a temperatura diminui com z (dT/dz<0), então \dot{Q}>0 indica fluxo na direção positiva de z.
Passo 3
Precisamos do gradiente \dfrac{dT}{dz}. Derivando a função T(z) termo a termo:
Significado do sinal: o resultado positivo \dot{Q}=140\\ \mathrm{W} indica que o fluxo de calor está no sentido positivo de z (ou seja, calor fluindo para maiores valores de z), conforme a convenção usada pela lei de Fourier.