(2,0 pontos) Uma parede plana de área 2 \mathrm{~m}^{2} possui uma distribuição de temperatura unidimensional, na direçào z, dada pela equaçăo abaixo. Sabendo que a condutividade da parede é de 10 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} . \mathrm{k}), determine a taxa de transferència de calor na referida parede, quando z=0,1 \mathrm{~m}.
T(z)=-10 \cdot z^{2}-5 \cdot z-3

Passo 1

O enunciado pede a taxa de transferência de calor através de uma parede plana, num ponto específico. As informações dadas são:
\text{Área: }A = 2\\ \mathrm{m}^2Á
\text{Condutividade térmica: }k = 10\\ \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K})é
\text{Distribuição de temperatura: }T(z) = -10\cdot z^{2} - 5\cdot z - 3çã
A pergunta é: qual é a taxa de transferência de calor na parede quando z=0,1\\ \mathrm{m} (ou seja, z=0,1)?

Passo 2

Para calcular a taxa de transferência de calor unidimensional por condução usamos a Lei de Fourier na forma integrada para uma área A:
\dot{Q} = -\,k\,A\,\frac{dT}{dz}
Expliquei cada termo:
  • \dot{Q} é a taxa de transferência de calor (potência) em watts, \mathrm{W}.
  • k é a condutividade térmica, em \mathrm{W}/(\mathrm{m}\cdot\mathrm{K}).
  • A é a área perpendicular ao fluxo de calor, em \mathrm{m}^2.
  • \dfrac{dT}{dz} é o gradiente de temperatura na direção z, em \mathrm{K}/\mathrm{m}.
    O sinal negativo aparece porque o calor flui naturalmente de regiões de temperatura maior para menor: se a temperatura diminui com z ( dT/dz<0), então \dot{Q}>0 indica fluxo na direção positiva de z.

Passo 3

Precisamos do gradiente \dfrac{dT}{dz}. Derivando a função T(z) termo a termo:
T(z) = -10\cdot z^{2} - 5\cdot z - 3
Derivando,
\frac{dT}{dz} = \frac{d}{dz}\bigl(-10\cdot z^{2}\bigr) + \frac{d}{dz}\bigl(-5\cdot z\bigr) + \frac{d}{dz}(-3).
Sabendo que \dfrac{d}{dz}(z^{2})=2z, \dfrac{d}{dz}(z)=1 e a derivada de constante é zero, obtemos:
\frac{dT}{dz} = -10\cdot 2z - 5 \cdot 1 + 0 = -20\cdot z - 5.

Passo 4

Avalie o gradiente em z=0,1:
\frac{dT}{dz}\Big|_{z=0,1} = -20\cdot(0,1) - 5 = -2 - 5 = -7\\ \mathrm{K}/\mathrm{m}.
Interpretação rápida: a temperatura está decrescendo com z (gradiente negativo).

Passo 5

Agora aplique a Lei de Fourier usando os valores numéricos:
\dot{Q} = -\,k\,A\,\frac{dT}{dz} = -\bigl(10\bigr)\cdot\bigl(2\bigr)\cdot\bigl(-7\bigr).
Calcule passo a passo:
10\cdot 2 = 20,
20\cdot(-7) = -140,
\dot{Q} = -(-140) = 140\\ \mathrm{W}.
Significado do sinal: o resultado positivo \dot{Q}=140\\ \mathrm{W} indica que o fluxo de calor está no sentido positivo de z (ou seja, calor fluindo para maiores valores de z), conforme a convenção usada pela lei de Fourier.

Resposta

140\\ \mathrm{W}

Exercícios relacionados