( 2,0 pontos) Uma distribuição de carga não uniforme, de simetria esférica, produz dentro da distribuição um campo elétrico de módulo
, em que
é uma constante e
é a distância do centro da esfera. O campo aponta para fora do centro da esfera. (a) Qual é a distribuição volumétrica de carga
? (b) Considerando que a distribuição esférica tenha raio
, qual é a carga total da distribuição esférica? (c) Calcule a expressão para o campo elétrico fora da distribuição esférica de raio
em termos da constante
. (Obs: nesta questão, a distribuição do campo elétrico tem potência de
diferente daquela que aparece em um problema parecido no livro texto).
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
Informações fornecidas:
- O campo elétrico dentro da distribuição (para
medido a partir do centro) tem módulo dado por onde é uma constante. O campo aponta radialmente para fora do centro (ou seja, com ). - A distribuição de carga tem simetria esférica.
- Em (b) e (c) a distribuição esférica tem raio
.
Perguntas:
(a) Qual é a distribuição volumétrica de carga (isto é,
dentro da distribuição)?
(b) Considerando a distribuição esférica de raio , qual é a carga total da distribuição esférica?
(c) Calcule a expressão para o campo elétrico fora da distribuição esférica (para ) em termos de
.
(a) Qual é a distribuição volumétrica de carga
(b) Considerando a distribuição esférica de raio
(c) Calcule a expressão para o campo elétrico fora da distribuição esférica (para
Passo 2
Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
- A lei de Maxwell-Gauss no espaço livre relaciona a densidade de carga volumétrica
com a divergência do campo elétrico:
onde
é a permissividade elétrica do vácuo.
- Para um campo puramente radial e de simetria esférica
, a divergência em coordenadas esféricas reduz-se à fórmula (importantíssima e muito usada):
Explico o que cada símbolo significa:
-
é o campo elétrico vetorial; quer dizer que só tem componente radial . -
é a distância ao centro. -
é constante (permissividade do vácuo).
Essa fórmula para a divergência é derivada da expressão geral em coordenadas esféricas; para simetria radial ela é a forma prática que usamos na prova.
Passo 3
Aplicando a fórmula da divergência ao campo dado:
Temos . Então compute primeiro
:
Temos
Agora derivamos em relação a
:
Dividindo por
conforme a fórmula da divergência:
Passo 4
Usando
para encontrar
:
Isolando
:
Interpretação: a densidade volumétrica cresce com
(por causa do campo que cresce como
dentro).
Passo 5
Agora vamos calcular a carga total dentro da esfera de raio
. Método direto (integração da densidade):
A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Por simetria esférica usamos
(elemento de volume em coordenadas esféricas, integrando ângulos dá
):
Substituindo
:
Calcule a integral
. Logo
Passo 6
Alternativa (verificação rápida por Lei de Gauss integral):
- Para
a carga encerrada por uma superfície esférica de raio é exatamente calculada acima. - Pela forma integral da lei de Gauss:
Com simetria esférica a esquerda é
. Isso nos será útil no próximo passo para obter
fora da esfera.
Passo 7
Campo elétrico fora da distribuição (para
):
Usando a lei de Gauss integral com :
Usando a lei de Gauss integral com
Isolando
:
Direção: radial para fora (
). Observação interessante: em
as expressões interna e externa coincidem, pois
e
, logo o campo é contínuo na superfície.
Resposta
(a)
(b)
(c) (radial para fora, para
).
(b)
(c)