( 2,0 pontos) Uma distribuição de carga não uniforme, de simetria esférica, produz dentro da distribuição um campo elétrico de módulo E=K r^{3}, em que K é uma constante e r é a distância do centro da esfera. O campo aponta para fora do centro da esfera. (a) Qual é a distribuição volumétrica de carga \rho ? (b) Considerando que a distribuição esférica tenha raio R, qual é a carga total da distribuição esférica? (c) Calcule a expressão para o campo elétrico fora da distribuição esférica de raio R em termos da constante K. (Obs: nesta questão, a distribuição do campo elétrico tem potência de r diferente daquela que aparece em um problema parecido no livro texto).

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede as perguntas abaixo.
Informações fornecidas:
  • O campo elétrico dentro da distribuição (para r medido a partir do centro) tem módulo dado por E = K\, r^{3}, onde K é uma constante. O campo aponta radialmente para fora do centro (ou seja, \mathbf{E}(r)=E_r(r)\,\hat{r} com E_r(r)=K r^3).
  • A distribuição de carga tem simetria esférica.
  • Em (b) e (c) a distribuição esférica tem raio \;R\;.
Perguntas:
(a) Qual é a distribuição volumétrica de carga \rho (isto é, \rho(r) dentro da distribuição)?
(b) Considerando a distribuição esférica de raio \;R\;, qual é a carga total da distribuição esférica?
(c) Calcule a expressão para o campo elétrico fora da distribuição esférica (para r>R) em termos de K.

Passo 2

Princípio físico que vamos usar (explicação didática):
  • A lei de Maxwell-Gauss no espaço livre relaciona a densidade de carga volumétrica \rho com a divergência do campo elétrico:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{\rho}{\varepsilon_0},
onde \varepsilon_0 é a permissividade elétrica do vácuo.
  • Para um campo puramente radial e de simetria esférica \mathbf{E}(r)=E_r(r)\,\hat{r}, a divergência em coordenadas esféricas reduz-se à fórmula (importantíssima e muito usada):
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r^{2}}\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_r(r)\bigr).
Explico o que cada símbolo significa:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico vetorial; \mathbf{E}(r)=E_r(r)\,\hat r quer dizer que só tem componente radial E_r(r).
  • r é a distância ao centro.
  • \varepsilon_0 é constante (permissividade do vácuo).
    Essa fórmula para a divergência é derivada da expressão geral em coordenadas esféricas; para simetria radial ela é a forma prática que usamos na prova.

Passo 3

Aplicando a fórmula da divergência ao campo dado:
Temos E_r(r)=K r^{3}. Então compute primeiro r^{2}E_r(r):
r^{2}E_r(r)=r^{2}\cdot(K r^{3})=K r^{5}.
Agora derivamos em relação a r:
\frac{d}{dr}\bigl(r^{2}E_r(r)\bigr)=\frac{d}{dr}\bigl(K r^{5}\bigr)=5K r^{4}.
Dividindo por r^{2} conforme a fórmula da divergência:
\nabla\cdot\mathbf{E}=\frac{1}{r^{2}}\bigl(5K r^{4}\bigr)=5K r^{2}.

Passo 4

Usando \nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\varepsilon_0 para encontrar \rho(r):
\frac{\rho(r)}{\varepsilon_0}=\nabla\cdot\mathbf{E}=5K r^{2}.
Isolando \rho(r):
\rho(r)=\varepsilon_0\cdot 5K r^{2}=5K\varepsilon_0\, r^{2}.
Interpretação: a densidade volumétrica cresce com r^{2} (por causa do campo que cresce como r^{3} dentro).

Passo 5

Agora vamos calcular a carga total dentro da esfera de raio \;R\;. Método direto (integração da densidade):
A carga total é a integral da densidade sobre o volume:
Q=\int_{V}\rho(\mathbf{r})\,dV.
Por simetria esférica usamos dV=4\pi r^{2}dr (elemento de volume em coordenadas esféricas, integrando ângulos dá 4\pi):
Q=\int_{0}^{R}\rho(r)\,4\pi r^{2}\,dr.
Substituindo \rho(r)=5K\varepsilon_0 r^{2}:
Q=\int_{0}^{R}\bigl(5K\varepsilon_0 r^{2}\bigr)\,4\pi r^{2}\,dr =20\pi K\varepsilon_0\int_{0}^{R} r^{4}\,dr.
Calcule a integral \int_{0}^{R} r^{4}\,dr=\dfrac{R^{5}}{5}. Logo
Q=20\pi K\varepsilon_0\cdot\frac{R^{5}}{5}=4\pi K\varepsilon_0\, R^{5}.

Passo 6

Alternativa (verificação rápida por Lei de Gauss integral):
  • Para r>R a carga encerrada por uma superfície esférica de raio r é exatamente Q calculada acima.
  • Pela forma integral da lei de Gauss:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0}.
Com simetria esférica a esquerda é E(r)\cdot 4\pi r^{2}. Isso nos será útil no próximo passo para obter E fora da esfera.

Passo 7

Campo elétrico fora da distribuição (para r>R):
Usando a lei de Gauss integral com Q_{\text{enc}}=Q=4\pi K\varepsilon_0 R^{5}:
E_{\text{out}}(r)\,4\pi r^{2}=\frac{Q}{\varepsilon_0}=\frac{4\pi K\varepsilon_0 R^{5}}{\varepsilon_0}=4\pi K R^{5}.
Isolando E_{\text{out}}(r):
E_{\text{out}}(r)=\frac{4\pi K R^{5}}{4\pi r^{2}}=\frac{K R^{5}}{r^{2}}.
Direção: radial para fora ( \hat r). Observação interessante: em r=R as expressões interna e externa coincidem, pois E_{\text{in}}(R)=K R^{3} e E_{\text{out}}(R)=K R^{5}/R^{2}=K R^{3}, logo o campo é contínuo na superfície.

Resposta

(a) \rho(r)=5K\varepsilon_0\, r^{2}.
(b) Q=4\pi K\varepsilon_0\, R^{5}.
(c) E_{\text{out}}(r)=\dfrac{K R^{5}}{r^{2}} (radial para fora, para r>R).

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