Duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas têm raios de 2,00 \mathrm{~cm} e 3,00 \mathrm{~cm}. A carga sobre a casca esférica interna é de 4,00 \times 10^{-8} \mathrm{C} e sobre a casca esférica externa é de 6,00 \times 10^{-8} \mathrm{C}. Determine o campo elétrico
em r=1,00 \mathrm{~cm}

Passo 1

O que o enunciado pede: determinar o campo elétrico no ponto com r=1{,}00\\ \mathrm{cm} (ou seja, a distância radial do centro é 1{,}00\\ \mathrm{cm}).\n
Informações dadas:
\text{raio da casca esférica interna} = 2{,}00\\ \mathrm{cm}é
\text{raio da casca esférica externa} = 3{,}00\\ \mathrm{cm}é
\text{carga na casca interna} = 4{,}00\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}
\text{carga na casca externa} = 6{,}00\times 10^{-8}\\ \mathrm{C}
Ponto onde queremos o campo: \;r=1{,}00\\ \mathrm{cm}, que fica estritamente dentro da cavidade interna (isto é, mais perto do centro do que a casca interna).

Passo 2

Ideia física e ferramenta matemática que vamos usar: quando temos simetria esférica é muito conveniente usar uma superfície gaussiana esférica centrada no mesmo ponto. A lei de Gauss diz:
\oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A}=\frac{Q_{\text{enc}}}{\varepsilon_0},
onde \oint \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} é o fluxo elétrico através da superfície fechada, Q_{\text{enc}} é a carga total contida dentro da superfície e \varepsilon_0 é a permissividade do vácuo. Explico os termos:
  • \mathbf{E} é o campo elétrico (vetor).
  • d\mathbf{A} é um elemento de área orientado normal à superfície (vetor).
  • Q_{\text{enc}} é a soma algébrica das cargas que estão estritamente dentro da superfície gaussiana.
Como escolhemos uma esfera coaxial com as cascas, por simetria o campo, se existir, é radial e tem mesma magnitude em toda a superfície esférica; então o lado esquerdo da lei de Gauss vira E\cdot 4\pi r^2, onde r é o raio da esfera gaussiana.

Passo 3

Escolha da superfície gaussiana: tomo uma esfera de raio \;r=1{,}00\\ \mathrm{cm} centrada no mesmo centro das cascas. Agora preciso identificar Q_{\text{enc}} — a carga total contida dentro dessa esfera.
Propriedade importante de condutores em equilíbrio eletrostático (explicação didática): numa casca condutora carregada, toda a carga livre reside nas superfícies do condutor. Para uma casca esférica fina de raio a, essa carga está efetivamente localizada na superfície em r=a. Portanto:
  • A carga da casca interna 4{,}00\times 10^{-8}\\ \mathrm{C} está localizada na superfície esférica em r=2{,}00\\ \mathrm{cm} (ou seja, fora da nossa esfera gaussiana de 1{,}00\\ \mathrm{cm}).
  • Todas as cargas da casca externa estão em superfícies com r\ge 3{,}00\\ \mathrm{cm}, também fora da nossa superfície gaussiana.
Conclusão: dentro da esfera de raio \;1{,}00\\ \mathrm{cm} não existe carga; portanto
Q_{\text{enc}}=0.

Passo 4

Aplicando a lei de Gauss com Q_{\text{enc}}=0:
E\cdot 4\pi r^2=\frac{0}{\varepsilon_0}=0.
Como 4\pi r^2 é positivo para r>0, segue que
E=0.

Passo 5

Interpretação física e comentários finais: o campo elétrico no interior da cavidade central (isto é, para r< raio da casca interna) é nulo porque não há carga dentro dessa região e o sistema é esfericamente simétrico. Em palavras mais coloquiais: todas as cargas estão nas cascas (a 2{,}00\\ \mathrm{cm} ou além), então, lá dentro, o campo se anula. Isso vale independentemente dos valores numéricos das cargas dadas — bastava saber que não há carga contida para r=1{,}00\\ \mathrm{cm}.

Resposta

\mathbf{E}=\mathbf{0}\\ \mathrm{N/C}

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