Duas cascas esféricas concêntricas, condutoras e carregadas têm raios de
e
. A carga sobre a casca esférica interna é de
e sobre a casca esférica externa é de
. Determine o campo elétrico
em
em
Passo 1
O que o enunciado pede: determinar o campo elétrico no ponto com
(ou seja, a distância radial do centro é
).\n
Informações dadas:
Informações dadas:
Ponto onde queremos o campo:
, que fica estritamente dentro da cavidade interna (isto é, mais perto do centro do que a casca interna).
Passo 2
Ideia física e ferramenta matemática que vamos usar: quando temos simetria esférica é muito conveniente usar uma superfície gaussiana esférica centrada no mesmo ponto. A lei de Gauss diz:
onde
é o fluxo elétrico através da superfície fechada,
é a carga total contida dentro da superfície e
é a permissividade do vácuo. Explico os termos:
-
é o campo elétrico (vetor). -
é um elemento de área orientado normal à superfície (vetor). -
é a soma algébrica das cargas que estão estritamente dentro da superfície gaussiana.
Como escolhemos uma esfera coaxial com as cascas, por simetria o campo, se existir, é radial e tem mesma magnitude em toda a superfície esférica; então o lado esquerdo da lei de Gauss vira
, onde
é o raio da esfera gaussiana.
Passo 3
Escolha da superfície gaussiana: tomo uma esfera de raio
centrada no mesmo centro das cascas. Agora preciso identificar
— a carga total contida dentro dessa esfera.
Propriedade importante de condutores em equilíbrio eletrostático (explicação didática): numa casca condutora carregada, toda a carga livre reside nas superfícies do condutor. Para uma casca esférica fina de raio
, essa carga está efetivamente localizada na superfície em
. Portanto:
- A carga da casca interna
está localizada na superfície esférica em (ou seja, fora da nossa esfera gaussiana de ). - Todas as cargas da casca externa estão em superfícies com
, também fora da nossa superfície gaussiana.
Conclusão: dentro da esfera de raio
não existe carga; portanto
Passo 4
Aplicando a lei de Gauss com
:
Como
é positivo para
, segue que
Passo 5
Interpretação física e comentários finais: o campo elétrico no interior da cavidade central (isto é, para
raio da casca interna) é nulo porque não há carga dentro dessa região e o sistema é esfericamente simétrico. Em palavras mais coloquiais: todas as cargas estão nas cascas (a
ou além), então, lá dentro, o campo se anula. Isso vale independentemente dos valores numéricos das cargas dadas — bastava saber que não há carga contida para
.