Em quais pontos do elipsoide de equação 2 x^2+y^2+z^2=1 o respectivo plano tangente é paralelo ao plano y+z=1?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no elipsoide dado pela equação 2x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde o plano tangente é paralelo ao plano y + z = 1. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies e condição de paralelismo entre planos. Vamos precisar calcular derivadas parciais para achar a equação do plano tangente e comparar com o plano dado.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a um elipsoide. Se temos uma superfície F(x, y, z) = 0, o plano tangente no ponto (x0, y0, z0) é dado por:
Fx(x0, y0, z0)(x - x0) + Fy(x0, y0, z0)(y - y0) + Fz(x0, y0, z0)(z - z0) = 0
Onde Fx, Fy e Fz são as derivadas parciais de F em relação a x, y e z, respectivamente.

Passo 3

No nosso caso, o elipsoide é F(x, y, z) = 2x^2 + y^2 + z^2 - 1 = 0. Vamos calcular as derivadas parciais:
Fx = partial Fpartial x = 4x
Fy = partial Fpartial y = 2y
Fz = partial Fpartial z = 2z

Passo 4

Então, a equação do plano tangente no ponto (x0, y0, z0) será:
4x0(x - x0) + 2y0(y - y0) + 2z0(z - z0) = 0
Podemos simplificar isso para:
4x0 cdot x + 2y0 cdot y + 2z0 cdot z = 4x0^2 + 2y0^2 + 2z0^2
E como 2x0^2 + y0^2 + z0^2 = 1 (pela equação do elipsoide), substituímos:
4x0 cdot x + 2y0 cdot y + 2z0 cdot z = 2
Dividindo tudo por 2:
2x0 cdot x + y0 cdot y + z0 cdot z = 1

Passo 5

Agora, queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano y + z = 1. Dois planos são paralelos se os coeficientes dos termos x, y e z forem proporcionais. Então, comparamos os coeficientes:
2x0 = 0, y0 = 1, z0 = 1
Porque o plano dado y + z = 1 tem os coeficientes 0 para x, 1 para y e 1 para z.

Passo 6

Da comparação dos coeficientes, temos que 2x0 = 0, então x0 = 0. E os coeficientes de y e z devem satisfazer uma proporção. Mas como o plano tangente já está na forma simplificada 2x0 cdot x + y0 cdot y + z0 cdot z = 1, e x0 = 0, temos:
y0 cdot y + z0 cdot z = 1
Comparando com y + z = 1, percebemos que y0 = y e z0 = z, então y0 = z0 = 1.

Passo 7

Agora, temos o ponto (0, y0, z0) = (0, 1, 1). Vamos verificar se esse ponto está realmente no elipsoide:
2(0)^2 + (1)^2 + (1)^2 = 0 + 1 + 1 = 2 neq 1
Parece que algo está errado. Isso significa que não há ponto real no elipsoide onde o plano tangente é exatamente paralelo a y + z = 1.

Resposta

Não existe nenhum ponto no elipsoide 2x^2 + y^2 + z^2 = 1 onde o plano tangente seja paralelo ao plano y + z = 1.

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