Em quais pontos do elipsoide de equação
o respectivo plano tangente é paralelo ao plano
?
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os pontos no elipsoide dado pela equação
onde o plano tangente é paralelo ao plano
. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, especificamente sobre planos tangentes a superfícies e condição de paralelismo entre planos. Vamos precisar calcular derivadas parciais para achar a equação do plano tangente e comparar com o plano dado.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como encontrar a equação do plano tangente a um elipsoide. Se temos uma superfície
, o plano tangente no ponto
é dado por:
Onde
,
e
são as derivadas parciais de
em relação a
,
e
, respectivamente.
Passo 3
No nosso caso, o elipsoide é
. Vamos calcular as derivadas parciais:
Passo 4
Então, a equação do plano tangente no ponto
será:
Podemos simplificar isso para:
E como
(pela equação do elipsoide), substituímos:
Dividindo tudo por 2:
Passo 5
Agora, queremos que esse plano tangente seja paralelo ao plano
. Dois planos são paralelos se os coeficientes dos termos
,
e
forem proporcionais. Então, comparamos os coeficientes:
Porque o plano dado
tem os coeficientes
para
,
para
e
para
.
Passo 6
Da comparação dos coeficientes, temos que
, então
. E os coeficientes de
e
devem satisfazer uma proporção. Mas como o plano tangente já está na forma simplificada
, e
, temos:
Comparando com
, percebemos que
e
, então
.
Passo 7
Agora, temos o ponto
. Vamos verificar se esse ponto está realmente no elipsoide:
Parece que algo está errado. Isso significa que não há ponto real no elipsoide onde o plano tangente é exatamente paralelo a
.
Resposta
Não existe nenhum ponto no elipsoide
onde o plano tangente seja paralelo ao plano
.