Considere a função
f(x, y)=ccc x y^4x^2+y^8 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0)
Determine as derivadas parciais fx e fy no ponto (1,1).

Passo 1

A função é dada por
f(x,y)= x,y^4x^2+y^8,&(x,y)neq(0,0), 0,&(x,y)=(0,0)
Queremos as derivadas parciais fx e fy no ponto (1,1). Como a expressão para (x,y)neq(0,0) é um quociente, vamos usar a regra do quociente e considerar a derivada parcial tratando uma variável como constante.

Passo 2

Primeiro definimos o numerador e denominador:
N(x,y)=x,y^4,
D(x,y)=x^2+y^8
Pela regra do quociente, a derivada parcial em relação a x é
fx=partialx Ncdot D - Ncdot partialx DD^2
Calculando cada termo:
partialx N=y^4,
partialx D=2x
Logo,
fx=y^4(x^2+y^8)-x y^4(2x)(x^2+y^8)^2 =x^2y^4+y^12-2x^2y^4(x^2+y^8)^2 =-x^2y^4+y^12(x^2+y^8)^2 =y^4(y^8-x^2)(x^2+y^8)^2
No ponto (1,1) isso vira
fx(1,1)=1^4(1^8-1^2)(1^2+1^8)^2=1cdot(1-1)(1+1)^2=0

Passo 3

Para fy, usamos de novo a regra do quociente:
fy=partialy Ncdot D - Ncdot partialy DD^2
Aqui
partialy N=4x y^3,
partialy D=8y^7
Então
fy=4x y^3(x^2+y^8)-x y^4(8y^7)(x^2+y^8)^2 =4x x^2y^3+4x y^11-8x y^11(x^2+y^8)^2 =4x^3y^3-4x y^11(x^2+y^8)^2 =4x y^3(x^2-y^8)(x^2+y^8)^2
Avaliando em (1,1):
fy(1,1)=4cdot1cdot1^3(1^2-1^8)(1+1)^2=4(1-1)4=0

Resposta

f_x(1,1)=0 e f_y(1,1)=0

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