(2 pontos) Uma empresa de software deseja avaliar se pelo menos 70 \% dos usuários estão satisfeitos com a nova interface do seu sistema. Para isso, realizou-se uma pesquisa com uma amostra aleatória de 200 usuários, dos quais 128 afirmaram estar satisfeitos com a nova interface. Teste a hipótese apropriada para responder à pergunta da empresa, adotando um nível de significância de 5 \%. Apresente as etapas do teste, incluindo a formulação das hipóteses, o cálculo da estatística de teste, a determinação da região crítica e a conclusão com base nos resultados.

Passo 1

O enunciado pergunta se pelo menos 70\% dos usuários estão satisfeitos com a nova interface. Dados fornecidos:
  • tamanho da amostra: n=200,
  • número de usuários satisfeitos na amostra: x=128,
  • nível de significância: \alpha=0,05.
    Pergunta explícita a responder: com esses dados, podemos concluir, ao nível de 5\%, que a proporção de usuários satisfeitos é pelo menos 70\%? (ou seja, testar a reivindicação da empresa).

Passo 2

Escolha das hipóteses (a empresa afirma "pelo menos 70\%"; na prática o nulo deve representar essa afirmação e a alternativa representa que a afirmação é falsa):
H_0:\; p \ge 0{,}70
H_1:\; p < 0{,}70
Explicação: p é a proporção verdadeira de usuários satisfeitos na população. Como queremos verificar se a alegação "pelo menos 70\%" é plausível, usamos um teste unilateral à esquerda (procuramos evidência de que p é menor que 0{,}70). Equivalentemente, para construir a estatística usamos p_0=0{,}70 como valor sob H_0.

Passo 3

Modelo e condições para usar o teste-z para proporção:
  • A estatística amostral é \widehat{p}=x/n.
  • Pelo Teorema do Limite Central para proporções, quando n é grande a distribuição de \widehat{p} é aproximadamente normal com média p e desvio padrão \sqrt{p(1-p)/n}.
  • Para usar a aproximação normal com o valor p_0 sob H_0 é comum verificar n p_0 \ge 5 e n(1-p_0)\ge 5. Aqui:
n p_0 = 200\cdot 0{,}70 = 140 \ge 5,
n(1-p_0) = 200\cdot 0{,}30 = 60 \ge 5.
Logo a aproximação normal é adequada.

Passo 4

Calcule a proporção amostral:
\widehat{p}=\frac{x}{n}=\frac{128}{200}=0{,}64.
Interpretação: na amostra 64\% dos usuários disseram estar satisfeitos.

Passo 5

Definição da estatística de teste:
Z=\frac{\widehat{p}-p_0}{\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}}
onde
  • \widehat{p} é a proporção amostral,
  • p_0 é a proporção sob H_0 (aqui 0{,}70),
  • n é o tamanho da amostra.
    Essa estatística, sob H_0, tem aproximadamente distribuição normal padrão N(0,1).

Passo 6

Cálculo passo a passo do denominador (erro padrão) e da estatística Z:
\text{erro padrão}=\sqrt{\dfrac{p_0(1-p_0)}{n}}=\sqrt{\dfrac{0{,}70\cdot 0{,}30}{200}}=\sqrt{\dfrac{0{,}21}{200}}=\sqrt{0{,}00105}\approx 0{,}03240.ã
Numerador:
\widehat{p}-p_0=0{,}64-0{,}70=-0{,}06.
Portanto
Z=\frac{-0{,}06}{0{,}03240}\approx -1{,}85.

Passo 7

Determinação da região crítica (teste unilateral à esquerda, \alpha=0{,}05):
  • Para nível \alpha=0{,}05 e teste à esquerda, o valor crítico da normal padrão é z_{0{,}05}=-1{,}645 (ou seja, rejeitamos H_0 se Z < -1{,}645).
    Comparando: Z\approx -1{,}85 e -1{,}85 < -1{,}645. Logo Z cai na região crítica.

Passo 8

Cálculo do p-valor (opcional, para interpretação):
\text{p-valor}=P(Z \le -1{,}85)\approx 0{,}032.
Como \text{p-valor}=0{,}032<\alpha=0{,}05, também rejeitamos H_0.

Passo 9

Conclusão e interpretação final (em linguagem prática):
  • Decisão: rejeitamos H_0 ao nível de 5\%.
  • Interpretação: os dados fornecem evidência suficiente, ao nível de 5\%, de que a proporção verdadeira de usuários satisfeitos é menor que 70\%. Em outras palavras, com base nesta amostra, não há suporte estatístico para a afirmação da empresa de que pelo menos 70\% dos usuários estão satisfeitos.

Resposta

Decisão: rejeita-se H_0.
Estatística de teste: Z\approx -1{,}85; p-valor \approx 0{,}032.
Conclusão: há evidências, ao nível de 5\%, de que a proporção de usuários satisfeitos é menor que 70\% (logo a afirmação "pelo menos 70\%" não é suportada pelos dados).

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