(2 pontos) Uma empresa de software deseja avaliar se pelo menos
dos usuários estão satisfeitos com a nova interface do seu sistema. Para isso, realizou-se uma pesquisa com uma amostra aleatória de 200 usuários, dos quais 128 afirmaram estar satisfeitos com a nova interface. Teste a hipótese apropriada para responder à pergunta da empresa, adotando um nível de significância de
. Apresente as etapas do teste, incluindo a formulação das hipóteses, o cálculo da estatística de teste, a determinação da região crítica e a conclusão com base nos resultados.
Passo 1
O enunciado pergunta se pelo menos
dos usuários estão satisfeitos com a nova interface. Dados fornecidos:
- tamanho da amostra:
, - número de usuários satisfeitos na amostra:
, - nível de significância:
.
Pergunta explícita a responder: com esses dados, podemos concluir, ao nível de, que a proporção de usuários satisfeitos é pelo menos ? (ou seja, testar a reivindicação da empresa).
Passo 2
Escolha das hipóteses (a empresa afirma "pelo menos
"; na prática o nulo deve representar essa afirmação e a alternativa representa que a afirmação é falsa):
Explicação:
é a proporção verdadeira de usuários satisfeitos na população. Como queremos verificar se a alegação "pelo menos
" é plausível, usamos um teste unilateral à esquerda (procuramos evidência de que
é menor que
). Equivalentemente, para construir a estatística usamos
como valor sob
.
Passo 3
Modelo e condições para usar o teste-z para proporção:
- A estatística amostral é
. - Pelo Teorema do Limite Central para proporções, quando
é grande a distribuição de é aproximadamente normal com média e desvio padrão . - Para usar a aproximação normal com o valor
sob é comum verificar e . Aqui:
Logo a aproximação normal é adequada.
Passo 4
Calcule a proporção amostral:
Interpretação: na amostra
dos usuários disseram estar satisfeitos.
Passo 5
Definição da estatística de teste:
onde
-
é a proporção amostral, -
é a proporção sob (aqui ), -
é o tamanho da amostra.
Essa estatística, sob, tem aproximadamente distribuição normal padrão .
Passo 6
Cálculo passo a passo do denominador (erro padrão) e da estatística
:
Numerador:
Portanto
Passo 7
Determinação da região crítica (teste unilateral à esquerda,
):
- Para nível
e teste à esquerda, o valor crítico da normal padrão é (ou seja, rejeitamos se ).
Comparando:e . Logo cai na região crítica.
Passo 8
Cálculo do p-valor (opcional, para interpretação):
Como
, também rejeitamos
.
Passo 9
Conclusão e interpretação final (em linguagem prática):
- Decisão: rejeitamos
ao nível de . - Interpretação: os dados fornecem evidência suficiente, ao nível de
, de que a proporção verdadeira de usuários satisfeitos é menor que . Em outras palavras, com base nesta amostra, não há suporte estatístico para a afirmação da empresa de que pelo menos dos usuários estão satisfeitos.
Resposta
Decisão: rejeita-se
.
Estatística de teste: ; p-valor
.
Conclusão: há evidências, ao nível de , de que a proporção de usuários satisfeitos é menor que
(logo a afirmação "pelo menos
" não é suportada pelos dados).
Estatística de teste:
Conclusão: há evidências, ao nível de