(2 pontos) Um engenheiro de redes está avaliando a estabilidade da latência (em milissegundos) em uma rede local corporativa. Ele coleta os tempos de resposta de 14 pacotes ICMP (ping) enviados a um servidor e obtém um desvio padrão amostral de 4,5 \mathrm{~ms}. Admitindo que os tempos de resposta seguem uma distribuição normal, construa um intervalo de confiança de 90 \% para a variância da latência da rede.

Passo 1

O enunciado fornece os tempos de resposta (latência) de 14 pacotes e diz que esses tempos seguem uma distribuição normal. Ele dá como informação o desvio padrão amostral 4,5\\ \mathrm{ms} e pede um intervalo de confiança de 90\% para a variância da latência da rede.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
\;n=14 (tamanho da amostra).
\;s=4,5\\ \mathrm{ms} (desvio padrão amostral).
Confiança desejada: 90\%.
Objetivo: construir um intervalo de confiança para a variância verdadeira \sigma^{2} da latência.

Passo 2

Entendendo as variáveis que vamos usar (aula rápida e direta):
\;n é o tamanho da amostra (quantos pings foram medidos).
\;s^{2} é a variância amostral, que é o quadrado do desvio padrão amostral s. Ela mede a dispersão dos tempos na amostra.
\;\sigma^{2} é a variância verdadeira da população (o que queremos estimar).
\;\chi^{2}_{\nu} representa a distribuição qui-quadrado com \nu graus de liberdade; seus quantis serão usados para montar o intervalo.
Importante: quando os dados são realmente normais, vale a relação estatística
\frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\sim\chi^{2}_{\,n-1},
ou seja, a quantidade acima tem distribuição qui-quadrado com n-1 graus de liberdade. Essa relação é a base para construir o intervalo de confiança para \sigma^{2}.

Passo 3

Derivação do intervalo de confiança (explicando cada termo):
Queremos um intervalo simétrico em termos de probabilidade de cobertura 1-\alpha com 1-\alpha=0,90. Logo \alpha=0,10 e os limites de cauda são \alpha/2=0,05 e 1-\alpha/2=0,95. Usando a relação do passo anterior, obtemos as desigualdades envolvendo os quantis da qui-quadrado:
\Pr\!\left(\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}\le \frac{(n-1)S^{2}}{\sigma^{2}}\le \chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}\right)=1-\alpha.
Invertendo para \sigma^{2}, o intervalo de confiança de 100(1-\alpha)\% para \sigma^{2} é
\left(\; \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}}\;,\; \frac{(n-1)S^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}}\;\right).
Aqui: (n-1)S^{2} é conhecido pela amostra, e \chi^{2}_{p,\,\nu} é o quantil tal que \Pr(\chi^{2}_{\nu}\le \chi^{2}_{p,\,\nu})=p.

Passo 4

Calculemos os valores amostrais que entram no intervalo:
Primeiro a variância amostral:
s^{2}= (4,5)^{2} = 20,25\\ \mathrm{ms}^{2}.
Graus de liberdade:
n-1 = 14-1 = 13.
Portanto
(n-1)s^{2}=13\cdot 20,25 = 263,25\\ \mathrm{ms}^{2}.

Passo 5

Precisamos dos quantis da qui-quadrado para \nu=13 e probabilidades 0,95 e 0,05. Consultando uma tabela da distribuição \chi^{2} (ou uma calculadora estatística), obtém-se:
\chi^{2}_{0,95,\,13}=22,362\quad\text{e}\quad \chi^{2}_{0,05,\,13}=5,009.
(Expliquei de onde vem: esses números são os pontos da tabela da qui-quadrado; se na prova você tiver tabela, procure a linha \nu=13 e leia os quantis para 0,95 e 0,05.)

Passo 6

Agora substituímos na fórmula do passo 3 para obter os limites do intervalo para a variância:
Limite inferior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{1-\alpha/2,\,n-1}} = \frac{263,25}{22,362} \approx 11,78\\ \mathrm{ms}^{2}.
Limite superior:
\frac{(n-1)s^{2}}{\chi^{2}_{\alpha/2,\,n-1}} = \frac{263,25}{5,009} \approx 52,57\\ \mathrm{ms}^{2}.
Assim, o intervalo de confiança de 90\% para \sigma^{2} é aproximadamente (11,78;\;52,57)\\ \mathrm{ms}^{2}.

Passo 7

Comentário prático e dica para a prova (rápido e motivador):
  • Se pedirem o intervalo para o desvio padrão \sigma, basta tirar raiz quadrada dos limites obtidos: \sqrt{11,78}\approx 3,43\\ \mathrm{ms} e \sqrt{52,57}\approx 7,25\\ \mathrm{ms}.
  • Na prova, escreva claramente n, s, s^{2}, a relação qui-quadrado, os quantis lidos na tabela e os cálculos numéricos — isso garante pontos mesmo se houver pequeno erro de arredondamento. Você consegue!

Resposta

\displaystyle \sigma^{2}\in(11,78;\;52,57)\\ \mathrm{ms}^{2}

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