(2 pontos) Uma empresa de cibersegurança está testando um novo sistema de detecção de intrusos (IDS - Intrusion Detection System) que identifica tentativas de ataques em redes corporativas. Os engenheiros mediram o tempo de resposta do sistema (em milissegundos) em uma amostra com n=16 ataques simulados. Os resultados da amostra indicaram um tempo médio de resposta de 205 ms e desvio padrão de 20 ms . Construa um intervalo de confiança de 95 \% para o tempo médio de resposta do sistema.

Passo 1

O enunciado pede para construir um intervalo de confiança de 95\% para o tempo médio de resposta do sistema.
Informações fornecidas pela amostra:
\;n=16 (tamanho da amostra)
\;\bar{x}=205 ms (média amostral)
\;s=20 ms (desvio-padrão amostral)
Nível de confiança: 95\%.

Passo 2

Qual método usar? Aqui precisamos estimar a média populacional quando a variância/ desvio-padrão populacional é desconhecido e a amostra é pequena ( n<30). Nesses casos usamos o intervalo de confiança baseado na distribuição t de Student com n-1 graus de liberdade. Vou usar esse método porque o enunciado não deu \sigma (desvio-padrão populacional) e n=16 é pequeno — então a aproximação normal (z) não é a mais correta.

Passo 3

Fórmula do intervalo de confiança para a média usando t:
\bar{x}\pm t_{1-\alpha/2,\,n-1}\cdot\frac{s}{\sqrt{n}}
Explicando cada símbolo:
  • \bar{x} é a média amostral (aqui \bar{x}=205 ms).
  • t_{1-\alpha/2,\,n-1} é o valor crítico da distribuição t para nível de confiança 1-\alpha e n-1 graus de liberdade. Para 95\% de confiança, \alpha=0,05 e usamos t_{0,975,\,n-1}.
  • s é o desvio-padrão amostral (aqui s=20 ms).
  • \sqrt{n} é a raiz quadrada do tamanho da amostra.

Passo 4

Calcular o erro padrão da média (standard error):
\text{SE}=\frac{s}{\sqrt{n}}=\frac{20}{\sqrt{16}}=\frac{20}{4}=5\\ \text{ms}.
Comentário: o erro padrão diz quanto, em média, a média amostral varia em torno da média populacional — é o desvio-padrão amostral corrigido pelo tamanho da amostra.

Passo 5

Determinar o valor crítico t_{0,975,15} (porque n-1=15 graus de liberdade). A partir de uma tabela t ou calculadora, obtemos aproximadamente
t_{0,975,15}\approx 2,131.
(Se você consultar uma tabela de t procure a linha com df=15 e a coluna para 0,975 ou nível de duas caudas 0,05.)

Passo 6

Calcular a margem de erro multiplicando o t crítico pelo erro padrão:
\text{margem}=t_{0,975,15}\cdot\text{SE}\approx 2,131\cdot 5=10,655\\ \text{ms}.
Arredondando a margem para duas casas decimais dá 10,66 ms.

Passo 7

Calcular os limites do intervalo de confiança somando/subtraindo a margem à média:
\text{limite inferior}=\bar{x}-\text{margem}=205-10,655=194,345\\ \text{ms},
\text{limite superior}=\bar{x}+\text{margem}=205+10,655=215,655\\ \text{ms}.
Arredondando para duas casas decimais (prática comum): 194,35 ms e 215,66 ms.

Passo 8

Interpretação curta e motivadora: com 95\% de confiança, o verdadeiro tempo médio de resposta do IDS está entre aproximadamente 194,35 ms e 215,66 ms. Isso significa que, se repetíssemos o experimento muitas vezes e construíssemos muitos intervalos desse tipo, cerca de 95\% desses intervalos conteriam a verdadeira média populacional. Força aí — você já tem o procedimento pronto para aplicar em outros problemas parecidos!

Resposta

(194,35\\ \text{ms},\\\ 215,66\\ \text{ms})

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