(a) Verificar se o conjunto \{A_1,A_2,A_3,A_4\} é linearmente independente e justificar.
(b) Determinar uma base de W.
Informações úteis dadas: são exatamente essas quatro matrizes (peguei todos os coeficientes do enunciado). A dimensão de M(2,2) é 4, então no máximo quatro matrizes independentes; mas pode haver dependência entre essas quatro.]
Passo 2
Lembrete didático sobre independência linear (explicando devagar):
Um conjunto de vetores (aqui: matrizes) \{v_1,\dots,v_k\} é linearmente independente se a única solução do sistema
\alpha_1 v_1+\cdots+\alpha_k v_k=0
é \alpha_1=\cdots=\alpha_k=0.
Se existe uma solução não trivial (algum coeficiente não nulo) que satisfaça essa combinação e produza a matriz zero, então o conjunto é linearmente dependente.
Então para testar (a) vamos montar essa combinação linear com incógnitas e resolver as equações que aparecem entrada a entrada da matriz.
Passo 3
Escrevo a combinação linear com incógnitas x_1,x_2,x_3,x_4:
Interpretação: existe solução não trivial (por exemplo t=1 dá uma solução com coeficientes não todos nulos). Logo o conjunto \{A_1,A_2,A_3,A_4\} é linearmente dependente. Uma relação explícita de dependência é
5A_1 + 1\cdot A_2 + 1\cdot A_3 -7A_4 = 0.
Verificação rápida (somando as matrizes com esses coeficientes) confirma que a soma dá a matriz zero. Isso responde a parte (a): o conjunto não é independente.
Passo 6
Agora parte (b): queremos uma base de W. Como encontramos uma relação que permite escrever A_3 em função de A_1,A_2,A_4, isolamos A_3 a partir da relação:
Assim uma candidata natural para base de W é o conjunto \{A_1,A_2,A_4\}, desde que essas três matrizes sejam linearmente independentes.
Passo 7
Verifico a independência de \{A_1,A_2,A_4\}. Considere \alpha A_1+\beta A_2+\gamma A_4=0. Escrevendo as equações por entradas:
(1,1):\\ \alpha - \beta = 0.
(1,2):\\ \alpha + \gamma = 0.
(2,2):\\\ -\beta = 0.
Da última segue \beta=0. Então \alpha=0 pela primeira equação, e portanto \gamma=0 pela segunda. Só existe solução trivial, logo \{A_1,A_2,A_4\} é linearmente independente. Assim é de fato uma base de W.
Também fica claro que \dim W=3, pois a base tem três elementos.
Resposta
(a) Não. As quatro matrizes são linearmente dependentes (ex.: 5A_1 + A_2 + A_3 -7A_4=0).
(b) Uma base de W é