(1 Ponto) EDO de Segunda Ordem Explique, resumidamente, o porquê da solução de uma EDO de segunda ordem, linear e não homogênea, do tipo
ser dada por
, na qual
e
são, respectivamente, a solução geral da equação homogênea associada e um solução particular da equação.
Passo 1
O enunciado pede para explicar, de forma resumida, por que a solução geral da equação
pode ser escrita como
onde
é a solução geral da equação homogênea associada
e
é uma solução particular da equação não homogênea (ou seja, alguma função que satisfaça a equação com o termo
).
O que foi fornecido: a equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea, a existência de uma solução particular e a existência da solução geral
da homogênea.
O que se pede: justificar por que qualquer solução da equação não homogênea é obtida somando uma solução particular com uma solução da homogênea, logo a forma geral é .
O que foi fornecido: a equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea, a existência de uma solução particular
O que se pede: justificar por que qualquer solução da equação não homogênea é obtida somando uma solução particular com uma solução da homogênea, logo a forma geral é
Passo 2
Apresentar o operador diferencial linear. Defina o operador linear
atuando em funções
por
Explicação didática: pensar em
como uma “caixa” que pega uma função
e devolve outra função
. Quando dizemos que a equação é linear, queremos dizer que
é linear, isto é, para quaisquer funções
e quaisquer constantes
vale
porque derivação e multiplicação por
obedecem essa propriedade. Esta propriedade é a chave: ela permite somar e multiplicar soluções mantendo a estrutura.
Passo 3
Mostrar que a soma de uma solução particular com uma solução da homogênea é solução da não homogênea. Seja
tal que
(isto é, uma solução particular) e seja
tal que
(ou seja, uma solução da homogênea). Então, usando linearidade,
Portanto
satisfaz a equação não homogênea. Intuição simples: o termo não homogêneo
é “compensado” por
, e
só acrescenta soluções que não mudam esse balanço (porque para a homogênea o resultado da caixa é zero).
Passo 4
Mostrar que qualquer solução é da forma
. Seja
qualquer solução da equação não homogênea, isto é
. Considere a diferença
Calcule
usando linearidade:
Logo
é solução da equação homogênea. Escrevendo
(alguma solução da homogênea), obtemos
Isto mostra que não existe solução “nova”: qualquer solução da não homogênea difere de uma solução particular por uma solução da homogênea.
Passo 5
Explicar por que isto dá a solução geral. Para uma EDO de segunda ordem, o espaço de soluções da homogênea é bidimensional: existem duas soluções linearmente independentes
e
tais que a solução geral da homogênea é
com
constantes arbitrárias (a independência linear pode ser verificada pelo wronskiano). Assim, ao somar uma solução particular
a essa combinação linear obtém-se a família de todas as soluções da não homogênea:
Em linguagem prática de prova: a liberdade nos dois constantes
corresponde às condições iniciais para uma equação de segunda ordem, então a expressão acima é exatamente a solução geral.
Passo 6
Recapitulando de forma curta e motivadora: a razão é a linearidade do operador diferencial. Linearidade dá duas coisas úteis: (1) somar uma solução particular com qualquer solução da homogênea continua sendo solução da não homogênea; (2) qualquer solução da não homogênea difere de uma solução particular por uma solução da homogênea. Juntando (1) e (2) chega-se à forma geral
com
a combinação linear geral das duas soluções independentes da homogênea. Força aí — esse é o truque padrão que aparece em prova: achar uma
e então completar com a solução geral da homogênea.
Resposta
Porque o operador
é linear: se
e
então
, e para qualquer solução
da não homogênea a diferença
satisfaz a homogênea; como as soluções da homogênea formam uma família de dimensão dois
, toda solução da equação não homogênea escreve-se como
.