(1 Ponto) EDO de Segunda Ordem Explique, resumidamente, o porquê da solução de uma EDO de segunda ordem, linear e não homogênea, do tipo
y^{\prime \prime}(t)+p(t) y^{\prime}(t)+q(t) y(t)=f(t),
ser dada por y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t), na qual y_{h}(t) e y_{p}(t) são, respectivamente, a solução geral da equação homogênea associada e um solução particular da equação.

Passo 1

O enunciado pede para explicar, de forma resumida, por que a solução geral da equação
y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t)=f(t)
pode ser escrita como
y(t)=y_{h}(t)+y_{p}(t),
onde \,y_{h} é a solução geral da equação homogênea associada
y''+p(t)y'+q(t)y=0,
e y_{p} é uma solução particular da equação não homogênea (ou seja, alguma função que satisfaça a equação com o termo f(t)).
O que foi fornecido: a equação diferencial de segunda ordem linear não homogênea, a existência de uma solução particular y_{p} e a existência da solução geral y_{h} da homogênea.
O que se pede: justificar por que qualquer solução da equação não homogênea é obtida somando uma solução particular com uma solução da homogênea, logo a forma geral é y=y_{h}+y_{p}.

Passo 2

Apresentar o operador diferencial linear. Defina o operador linear \mathcal{L} atuando em funções y(t) por
\mathcal{L}[y]:=y''(t)+p(t)y'(t)+q(t)y(t).
Explicação didática: pensar em \mathcal{L} como uma “caixa” que pega uma função y e devolve outra função \mathcal{L}[y]. Quando dizemos que a equação é linear, queremos dizer que \mathcal{L} é linear, isto é, para quaisquer funções u,v e quaisquer constantes a,b vale
\mathcal{L}[a u + b v]=a\,\mathcal{L}[u]+b\,\mathcal{L}[v],
porque derivação e multiplicação por p(t),q(t) obedecem essa propriedade. Esta propriedade é a chave: ela permite somar e multiplicar soluções mantendo a estrutura.

Passo 3

Mostrar que a soma de uma solução particular com uma solução da homogênea é solução da não homogênea. Seja y_{p} tal que \mathcal{L}[y_{p}]=f (isto é, uma solução particular) e seja y_{h} tal que \mathcal{L}[y_{h}]=0 (ou seja, uma solução da homogênea). Então, usando linearidade,
\mathcal{L}[y_{p}+y_{h}]=\mathcal{L}[y_{p}]+\mathcal{L}[y_{h}]=f+0=f.
Portanto y_{p}+y_{h} satisfaz a equação não homogênea. Intuição simples: o termo não homogêneo f é “compensado” por y_{p}, e y_{h} só acrescenta soluções que não mudam esse balanço (porque para a homogênea o resultado da caixa é zero).

Passo 4

Mostrar que qualquer solução é da forma y_{p}+y_{h}. Seja y qualquer solução da equação não homogênea, isto é \mathcal{L}[y]=f. Considere a diferença
z:=y-y_{p}.
Calcule \mathcal{L}[z] usando linearidade:
\mathcal{L}[z]=\mathcal{L}[y-y_{p}]=\mathcal{L}[y]-\mathcal{L}[y_{p}]=f-f=0.
Logo z é solução da equação homogênea. Escrevendo z=y_{h} (alguma solução da homogênea), obtemos
y=y_{p}+y_{h}.
Isto mostra que não existe solução “nova”: qualquer solução da não homogênea difere de uma solução particular por uma solução da homogênea.

Passo 5

Explicar por que isto dá a solução geral. Para uma EDO de segunda ordem, o espaço de soluções da homogênea é bidimensional: existem duas soluções linearmente independentes \,y_{1}(t) e \,y_{2}(t) tais que a solução geral da homogênea é
y_{h}(t)=C_{1}y_{1}(t)+C_{2}y_{2}(t),
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias (a independência linear pode ser verificada pelo wronskiano). Assim, ao somar uma solução particular y_{p} a essa combinação linear obtém-se a família de todas as soluções da não homogênea:
y(t)=y_{p}(t)+C_{1}y_{1}(t)+C_{2}y_{2}(t).
Em linguagem prática de prova: a liberdade nos dois constantes C_{1},C_{2} corresponde às condições iniciais para uma equação de segunda ordem, então a expressão acima é exatamente a solução geral.

Passo 6

Recapitulando de forma curta e motivadora: a razão é a linearidade do operador diferencial. Linearidade dá duas coisas úteis: (1) somar uma solução particular com qualquer solução da homogênea continua sendo solução da não homogênea; (2) qualquer solução da não homogênea difere de uma solução particular por uma solução da homogênea. Juntando (1) e (2) chega-se à forma geral
y(t)=y_{p}(t)+y_{h}(t),
com y_{h} a combinação linear geral das duas soluções independentes da homogênea. Força aí — esse é o truque padrão que aparece em prova: achar uma y_{p} e então completar com a solução geral da homogênea.

Resposta

Porque o operador \mathcal{L}[y]=y''+p(t)y'+q(t)y é linear: se \mathcal{L}[y_{p}]=f e \mathcal{L}[y_{h}]=0 então \mathcal{L}[y_{p}+y_{h}]=f, e para qualquer solução y da não homogênea a diferença y-y_{p} satisfaz a homogênea; como as soluções da homogênea formam uma família de dimensão dois (y_{h}=C_{1}y_{1}+C_{2}y_{2}), toda solução da equação não homogênea escreve-se como y=y_{p}+y_{h}.

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