Passo 1
O enunciado pede a integral indefinida
Informações relevantes: é uma integral indefinida (logo o resultado terá constante de integração
) e a função
não está definida em
, então a primitiva será válida em intervalos que não atravessam
.
Passo 2
Primeiro passo prático: reescrever a função com potência para usar a regra do poder. Temos
Isso deixa a integral numa forma padrão
.
Passo 3
Apresento a regra do poder (ferramenta que vamos usar). Para qualquer expoente
diferente de
,
onde
é a variável de integração,
é o expoente, e
é a constante de integração. A condição
existe porque quando
a integral vira
que dá logaritmo, não a fórmula acima.
Passo 4
Aplicando a regra do poder ao nosso caso com
:
calcule . Então
calcule
Agora simplificamos a constante multiplicativa:
Passo 5
Reescrevendo em forma racional (mais habitual):
Portanto a primitiva que encontramos é
.
Passo 6
Verificação rápida (sempre faça isso na prova se tiver tempo): derivando a primitiva obtemos
que é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.
Passo 7
Observações e lembretes úteis para a prova:
- A primitiva é válida em cada intervalo que não contenha
; podemos escolher constantes diferentes em e se estivermos construindo primitivas em intervalos separados. - Exemplo rápido de comparação: para
aplicamos a mesma regra com e obtemos . Para (caso ) o resultado é , ou seja, a fórmula do passo 3 não vale quando .