\int \frac{1}{x^{2}} \mathrm{~d} x

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
\int \frac{1}{x^{2}}\,\mathrm{d}x.
Informações relevantes: é uma integral indefinida (logo o resultado terá constante de integração C) e a função \frac{1}{x^{2}} não está definida em x=0, então a primitiva será válida em intervalos que não atravessam x=0.

Passo 2

Primeiro passo prático: reescrever a função com potência para usar a regra do poder. Temos
\frac{1}{x^{2}} = x^{-2}.
Isso deixa a integral numa forma padrão \int x^{n}\,\mathrm{d}x.

Passo 3

Apresento a regra do poder (ferramenta que vamos usar). Para qualquer expoente n diferente de -1,
\int x^{n}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde x é a variável de integração, n é o expoente, e C é a constante de integração. A condição n\neq -1 existe porque quando n=-1 a integral vira \int x^{-1}\,\mathrm{d}x=\int \frac{1}{x}\,\mathrm{d}x que dá logaritmo, não a fórmula acima.

Passo 4

Aplicando a regra do poder ao nosso caso com n=-2:
calcule n+1 = -2+1 = -1. Então
\int x^{-2}\,\mathrm{d}x = \frac{x^{-1}}{-1} + C.
Agora simplificamos a constante multiplicativa:
\frac{x^{-1}}{-1} = -x^{-1}.

Passo 5

Reescrevendo em forma racional (mais habitual):
-x^{-1} = -\frac{1}{x}.
Portanto a primitiva que encontramos é -\dfrac{1}{x}+C.

Passo 6

Verificação rápida (sempre faça isso na prova se tiver tempo): derivando a primitiva obtemos
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\!\left(-x^{-1}\right) = -(-1)x^{-2} = x^{-2},
que é exatamente o integrando original, então a primitiva está correta.

Passo 7

Observações e lembretes úteis para a prova:
  • A primitiva é válida em cada intervalo que não contenha x=0; podemos escolher constantes diferentes em x>0 e x<0 se estivermos construindo primitivas em intervalos separados.
  • Exemplo rápido de comparação: para \int x^{3}\,\mathrm{d}x aplicamos a mesma regra com n=3 e obtemos \dfrac{x^{4}}{4}+C. Para \int \dfrac{1}{x}\,\mathrm{d}x (caso n=-1) o resultado é \ln|x|+C, ou seja, a fórmula do passo 3 não vale quando n=-1.

Resposta

-\dfrac{1}{x}+C

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