Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função a integrar é
e trata-se de uma integral indefinida (logo o resultado terá uma constante de integração, que chamaremos de
). Nada mais é fornecido.
Passo 2
Escolha do método: vamos usar a substituição simples
. Por que isso? Porque a integral contém a composição de uma função trigonométrica com uma função linear (
). A substituição transforma a integral numa forma básica que já sabemos integrar:
. É o método mais direto e o que se usa normalmente em prova.
Passo 3
Fazendo a substituição: defina
Agora derivamos ambos os lados em relação a
para relacionar
e
:
Isolando
temos
Passo 4
Substituímos
e
na integral original:
Como
é constante, podemos colocá-la fora da integral:
Passo 5
Agora integramos
. Sabemos que a primitiva de
em relação a
é
, porque a derivada de
é
. Então
Substituindo no passo anterior:
Passo 6
Voltando à variável original
(fazer o “back-substitution”): lembrando que
,
Passo 7
Verificação rápida (útil em prova): derivando o resultado obtemos a integranda:
portanto a resposta está correta. Regra geral que fica:
.