\int \cos (3 x) \mathrm{d} x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \cos(3x)\,dx.
Informações dadas: a função a integrar é \cos(3x) e trata-se de uma integral indefinida (logo o resultado terá uma constante de integração, que chamaremos de C). Nada mais é fornecido.

Passo 2

Escolha do método: vamos usar a substituição simples u=3x. Por que isso? Porque a integral contém a composição de uma função trigonométrica com uma função linear ( 3x). A substituição transforma a integral numa forma básica que já sabemos integrar: \int \cos(u)\,du. É o método mais direto e o que se usa normalmente em prova.

Passo 3

Fazendo a substituição: defina
u = 3x.
Agora derivamos ambos os lados em relação a x para relacionar du e dx:
\frac{du}{dx}=3 \quad\Rightarrow\quad du = 3\,dx.
Isolando dx temos
dx=\frac{du}{3}.

Passo 4

Substituímos u e dx na integral original:
\int \cos(3x)\,dx = \int \cos(u)\cdot\frac{du}{3}.
Como \tfrac{1}{3} é constante, podemos colocá-la fora da integral:
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\int \cos(u)\,du.

Passo 5

Agora integramos \cos(u). Sabemos que a primitiva de \cos(u) em relação a u é \sin(u), porque a derivada de \sin(u) é \cos(u). Então
\int \cos(u)\,du = \sin(u) + C.
Substituindo no passo anterior:
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(u) + C.

Passo 6

Voltando à variável original x (fazer o “back-substitution”): lembrando que u=3x,
\int \cos(3x)\,dx = \frac{1}{3}\sin(3x) + C.

Passo 7

Verificação rápida (útil em prova): derivando o resultado obtemos a integranda:
\frac{d}{dx}\!\left(\frac{1}{3}\sin(3x)\right) = \frac{1}{3}\cos(3x)\cdot 3 = \cos(3x),
portanto a resposta está correta. Regra geral que fica: \displaystyle \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}\sin(3x)+C

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