(2,0 pontos) Encontre a função
que satisfaz as seguintes condições iniciais, no seguinte caso:
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função
que satisfaz as seguintes informações dadas:
- A segunda derivada:
. - Condição inicial para a primeira derivada:
. - Condição inicial para a função:
.
Resumo do que é pedido: determinar
usando que a sua segunda derivada é
e ajustando as constantes de integração para obedecer
e
.
Passo 2
Plano de resolução (passo a passo prático e por que funciona):
- Como
é conhecida, calcular integrando uma vez e introduzindo uma constante de integração . - Usar a condição
para determinar . - Integrar
para obter , introduzindo outra constante . - Usar
para determinar .
Vou explicar cada integral e as identidades trigonométricas usadas para que tudo fique claro.
Passo 3
Integrar
para obter
.
Primeiro, usar a identidade trigonométrica de redução para
:
Essa identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo:
, isolando
obtemos a fórmula acima.
Agora integrar:
Separando e integrando termo a termo:
Lembrando a regra de integração para cosseno com constante:
. Aqui
, então
Portanto
Somando os termos e incluindo a constante de integração
,
Passo 4
Determinar
usando a condição
.
Avaliar
em
:
Como
, conclui-se que
Logo
Passo 5
Integrar
para obter
e usar
para achar a constante
.
Integrar termo a termo:
Calcular cada integral separadamente:
-
- Para
usar . Com ,
Multiplicando pelo fator
que estava no integrando:
Somando tudo e incluindo
,
Agora usar
para encontrar
. Avaliando em
:
Como
, temos
Portanto a função procurada é
Passo 6
Verificação rápida (como checar na prova):
- Diferenciando uma vez
encontra-se
e
(confere).
- Diferenciando de novo:
o que é exatamente a condição dada. Tudo confere.