(2,0 pontos) Encontre a função f(x) que satisfaz as seguintes condições iniciais, no seguinte caso:
f^{\prime \prime}(x)=\operatorname{sen}^{2}(x), \quad f^{\prime}(0)=1, \quad f(0)=2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função f(x) que satisfaz as seguintes informações dadas:
  • A segunda derivada: f''(x)=\operatorname{sen}^{2}(x).
  • Condição inicial para a primeira derivada: f'(0)=1.
  • Condição inicial para a função: f(0)=2.
Resumo do que é pedido: determinar f(x) usando que a sua segunda derivada é \operatorname{sen}^{2}(x) e ajustando as constantes de integração para obedecer f'(0)=1 e f(0)=2.

Passo 2

Plano de resolução (passo a passo prático e por que funciona):
  • Como f''(x) é conhecida, calcular f'(x) integrando f''(x) uma vez e introduzindo uma constante de integração C_1.
  • Usar a condição f'(0)=1 para determinar C_1.
  • Integrar f'(x) para obter f(x), introduzindo outra constante C_2.
  • Usar f(0)=2 para determinar C_2.
    Vou explicar cada integral e as identidades trigonométricas usadas para que tudo fique claro.

Passo 3

Integrar f''(x)=\operatorname{sen}^{2}(x) para obter f'(x).
Primeiro, usar a identidade trigonométrica de redução para \operatorname{sen}^{2}(x):
\operatorname{sen}^{2}(x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}.
Essa identidade vem da fórmula do cosseno do ângulo duplo: \cos(2x)=1-2\operatorname{sen}^{2}(x), isolando \operatorname{sen}^{2}(x) obtemos a fórmula acima.
Agora integrar:
f'(x)=\int f''(x)\,dx=\int \operatorname{sen}^{2}(x)\,dx =\int \frac{1-\cos(2x)}{2}\,dx.
Separando e integrando termo a termo:
\int \frac{1}{2}\,dx=\frac{1}{2}x, \qquad \int \left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\int \cos(2x)\,dx.
Lembrando a regra de integração para cosseno com constante: \displaystyle \int \cos(kx)\,dx=\frac{1}{k}\sin(kx). Aqui k=2, então
\int \cos(2x)\,dx=\frac{1}{2}\sin(2x).
Portanto
-\frac{1}{2}\cdot\int \cos(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{2}\sin(2x)=-\frac{1}{4}\sin(2x).
Somando os termos e incluindo a constante de integração C_1,
f'(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+C_1.

Passo 4

Determinar C_1 usando a condição f'(0)=1.
Avaliar f'(x) em x=0:
f'(0)=\frac{1}{2}\cdot 0-\frac{1}{4}\sin(0)+C_1 = 0-0+C_1=C_1.
Como f'(0)=1, conclui-se que
C_1=1.
Logo
f'(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+1.

Passo 5

Integrar f'(x) para obter f(x) e usar f(0)=2 para achar a constante C_2.
Integrar termo a termo:
f(x)=\int f'(x)\,dx=\int\left(\frac{1}{2}x\right)dx -\int\left(\frac{1}{4}\sin(2x)\right)dx +\int 1\,dx + C_2.
Calcular cada integral separadamente:
  • \displaystyle \int \frac{1}{2}x\,dx=\frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2}=\frac{1}{4}x^{2}.
  • Para \displaystyle \int \sin(2x)\,dx usar \displaystyle \int \sin(kx)\,dx=-\frac{1}{k}\cos(kx). Com k=2,
\int \sin(2x)\,dx=-\frac{1}{2}\cos(2x).
Multiplicando pelo fator -\dfrac{1}{4} que estava no integrando:
-\frac{1}{4}\int \sin(2x)\,dx=-\frac{1}{4}\cdot\left(-\frac{1}{2}\cos(2x)\right)=\frac{1}{8}\cos(2x).
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
Somando tudo e incluindo C_2,
f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{8}\cos(2x)+x+C_2.
Agora usar f(0)=2 para encontrar C_2. Avaliando em x=0:
f(0)=\frac{1}{4}\cdot 0^{2}+\frac{1}{8}\cos(0)+0+C_2=\frac{1}{8}\cdot 1 + C_2=\frac{1}{8}+C_2.
Como f(0)=2, temos
\frac{1}{8}+C_2=2 \quad\Rightarrow\quad C_2=2-\frac{1}{8}=\frac{16}{8}-\frac{1}{8}=\frac{15}{8}.
Portanto a função procurada é
f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{8}\cos(2x)+x+\frac{15}{8}.

Passo 6

Verificação rápida (como checar na prova):
  • Diferenciando uma vez f(x) encontra-se
f'(x)=\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)+1,
e f'(0)=1 (confere).
  • Diferenciando de novo:
f''(x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{4}\cdot 2\cos(2x)=\frac{1}{2}-\frac{1}{2}\cos(2x)=\frac{1-\cos(2x)}{2}=\operatorname{sen}^{2}(x),
o que é exatamente a condição dada. Tudo confere.

Resposta

f(x)=\frac{1}{4}x^{2}+\frac{1}{8}\cos(2x)+x+\frac{15}{8}

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