Responda: (10 pontos) definida por:
Se R é a relação binária de A=\{x \in R \mid 1 \leqslant x \leqslant 6\} em B=\{y \in R \mid 1 \leqslant y \leqslant 4\}.
forneça:
a) a representação cartesiana de \mathrm{A} \times \mathrm{B} ; 1
b) a representação cartesiana de R ; y
c) o domínio e a imagem de R. \mathbf{Z}

Passo 1

O enunciado dá duas coisas claras e uma coisa faltando:
  • Dados informados:
    • A=\{x\in\mathbb{R}\mid 1\le x\le 6\}. Ou seja, A é o intervalo fechado [1,6] em \mathbb{R}.
    • B=\{y\in\mathbb{R}\mid 1\le y\le 4\}. Ou seja, B é o intervalo fechado [1,4] em \mathbb{R}.
  • Pedidos:
    a) a representação cartesiana de A\times B;
    b) a representação cartesiana de R;
    c) o domínio e a imagem de R.
  • Informação faltando (essencial): o enunciado começa “definida por:” e não traz a regra que define a relação binária R. Sem essa regra não é possível listar os pares que pertencem a R nem determinar seu domínio e imagem de forma precisa.
O passo 1 serve para organizar tudo que foi dado e o que falta: temos como responder (a) completamente, mas (b) e (c) exigem a definição da relação R, que não foi fornecida.

Passo 2

Vou explicar o que é cada objeto pedido e como calculá-lo quando toda informação necessária estiver disponível — assim, você aprende a fazer isso na prova.
  • O produto cartesiano A\times B é o conjunto de todos os pares ordenados (x,y) tais que x\in A e y\in B. Em palavras: pegue cada elemento de A e emparelhe com cada elemento de B. Quando A e B são intervalos reais, A\times B é um retângulo fechado no plano \mathbb{R}^2.
  • Uma relação binária R de A em B é um subconjunto de A\times B. Isto é,
R\subseteq A\times B.
Para dar a representação cartesiana de R é preciso a regra que diz quais pares (x,y) pertencem a R (por exemplo, uma regra típica: R=\{(x,y)\in A\times B \mid y=f(x)\} ou R=\{(x,y)\in A\times B \mid x+y=3\}). Sem essa regra, só se pode afirmar relações gerais, como R\subseteq A\times B, mas não a lista/expression que descreve os pares.
  • O domínio de R (denotado \mathrm{dom}(R) ou \mathrm{D}(R)) é o conjunto dos x\in A que aparecem em pelo menos um par de R:
\mathrm{dom}(R)=\{x\in A \mid \exists\,y\in B,\\ (x,y)\in R\}.
  • A imagem (ou contradomínio efetivo) de R (denotada \mathrm{im}(R) ou \mathrm{Im}(R)) é o conjunto dos y\in B que aparecem em pelo menos um par de R:
\mathrm{im}(R)=\{y\in B \mid \exists\,x\in A,\\ (x,y)\in R\}.
Para calcular \mathrm{dom}(R) e \mathrm{im}(R) efetivamente é necessário conhecer quais pares (x,y) pertencem a R.

Passo 3

Calculemos a parte que dá para fazer imediatamente: a representação cartesiana de A\times B. Como A=[1,6] e B=[1,4], por definição
A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le 6,\\\ 1\le y\le 4\}.
Explicando passo a passo: qualquer par (x,y) com x entre 1 e 6 (inclusive) e y entre 1 e 4 (inclusive) pertence a A\times B. Geometricamente, é o retângulo fechado com vértices (1,1), (1,4), (6,1), (6,4).
Como exercício mental: se A e B fossem conjuntos finitos, por exemplo A=\{1,2\} e B=\{a,b\}, então
A\times B=\{(1,a),(1,b),(2,a),(2,b)\},
ou seja, lista-se cada combinação — mas no caso de intervalos contínuos, usa-se a descrição por desigualdades acima.

Passo 4

Agora o que não dá para fazer sem mais dados. Sobre a representação cartesiana de R e sobre domínio/ imagem de R:
  • A representação cartesiana de R exige a regra que define R. Exemplos de formatos possíveis:
    • Se o enunciado fosse “ R=\{(x,y)\in A\times B\mid y=x-1\}”, então escreveria
    R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le 6,\\\ 1\le y\le 4,\\ y=x-1\}.
    • Se fosse “ R=\{(x,y)\in A\times B\mid x+y\le 5\}”, então seria
    R=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le 6,\\\ 1\le y\le 4,\\ x+y\le 5\}.
    Cada definição diferente produz subconjuntos diferentes de A\times B.
  • O domínio e a imagem dependem diretamente dessa mesma regra. Por exemplo, no caso y=x-1 com A=[1,6] e B=[1,4]:
    • Os x válidos seriam aqueles em A tais que x-1\in B, i.e. 1\le x\le 5, então \mathrm{dom}(R)=[1,5].
    • A imagem seria [0,4]\cap B =[1,4] (ajuste conforme interseção). Mas isso foi só um exemplo ilustrativo; não se pode afirmar para o problema real sem a regra.

Passo 5

Conclusão prática para a sua prova (passo-a-passo que você pode aplicar se aparecer uma questão igual):
  1. Sempre comece identificando A e B (aqui são intervalos).
  2. Escreva A\times B como o conjunto de pares com as desigualdades que definem os intervalos.
  3. Procure a definição explícita de R. Se existir uma condição do tipo “ |\cdot|, =, \le,) ou uma função y=f(x)”, substitua essa condição junto às desigualdades de A e B para obter R.
  4. Para encontrar \mathrm{dom}(R): resolva a existência de y para cada x (i.e., encontre todos os x\in A que satisfazem a condição com algum y\in B).
  5. Para encontrar \mathrm{im}(R): resolva a existência de x para cada y (i.e., todos os y\in B que ocorrem em algum par).
Se na prova a definição de R estiver faltando como aqui, marque esse fato e responda a parte (a) deixando (b) e (c) como “impossível determinar” justificando que a regra que define R não foi dada — isso é uma resposta correta e bem justificada.

Resposta

a) \;A\times B=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 1\le x\le 6,\\\ 1\le y\le 4\}.
b) Impossível determinar a representação cartesiana de R porque a definição (a regra que diz quais pares (x,y) pertencem a R) não foi fornecida no enunciado.
c) Impossível determinar o domínio e a imagem de R por falta da definição de R. Observação geral: tem-se sempre \mathrm{dom}(R)\subseteq A=[1,6] e \mathrm{im}(R)\subseteq B=[1,4].

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