Responda: (10 pontos) definida por:
Se
é a relação binária de
em
.
forneça:
a) a representação cartesiana de
b) a representação cartesiana de R ; y
c) o domínio e a imagem de R.
forneça:
a) a representação cartesiana de
b) a representação cartesiana de R ; y
c) o domínio e a imagem de R.
Passo 1
O enunciado dá duas coisas claras e uma coisa faltando:
- Dados informados:
-
. Ou seja, é o intervalo fechado em . -
. Ou seja, é o intervalo fechado em .
-
- Pedidos:
a) a representação cartesiana de;
b) a representação cartesiana de;
c) o domínio e a imagem de. - Informação faltando (essencial): o enunciado começa “definida por:” e não traz a regra que define a relação binária
. Sem essa regra não é possível listar os pares que pertencem a nem determinar seu domínio e imagem de forma precisa.
O passo 1 serve para organizar tudo que foi dado e o que falta: temos como responder (a) completamente, mas (b) e (c) exigem a definição da relação
, que não foi fornecida.
Passo 2
Vou explicar o que é cada objeto pedido e como calculá-lo quando toda informação necessária estiver disponível — assim, você aprende a fazer isso na prova.
-
O produto cartesiano
é o conjunto de todos os pares ordenados tais que e . Em palavras: pegue cada elemento de e emparelhe com cada elemento de . Quando e são intervalos reais, é um retângulo fechado no plano . -
Uma relação binária
de em é um subconjunto de . Isto é,
Para dar a representação cartesiana de
é preciso a regra que diz quais pares
pertencem a
(por exemplo, uma regra típica:
ou
). Sem essa regra, só se pode afirmar relações gerais, como
, mas não a lista/expression que descreve os pares.
- O domínio de
(denotado ou ) é o conjunto dos que aparecem em pelo menos um par de :
- A imagem (ou contradomínio efetivo) de
(denotada ou ) é o conjunto dos que aparecem em pelo menos um par de :
Para calcular
e
efetivamente é necessário conhecer quais pares
pertencem a
.
Passo 3
Calculemos a parte que dá para fazer imediatamente: a representação cartesiana de
. Como
e
, por definição
Explicando passo a passo: qualquer par
com
entre
e
(inclusive) e
entre
e
(inclusive) pertence a
. Geometricamente, é o retângulo fechado com vértices
,
,
,
.
Como exercício mental: se
e
fossem conjuntos finitos, por exemplo
e
, então
ou seja, lista-se cada combinação — mas no caso de intervalos contínuos, usa-se a descrição por desigualdades acima.
Passo 4
Agora o que não dá para fazer sem mais dados. Sobre a representação cartesiana de
e sobre domínio/ imagem de
:
-
A representação cartesiana de
exige a regra que define . Exemplos de formatos possíveis: - Se o enunciado fosse “
”, então escreveria
- Se fosse “
”, então seria
Cada definição diferente produz subconjuntos diferentes de. - Se o enunciado fosse “
-
O domínio e a imagem dependem diretamente dessa mesma regra. Por exemplo, no caso
com e : - Os
válidos seriam aqueles em tais que , i.e. , então . - A imagem seria
(ajuste conforme interseção). Mas isso foi só um exemplo ilustrativo; não se pode afirmar para o problema real sem a regra.
- Os
Passo 5
Conclusão prática para a sua prova (passo-a-passo que você pode aplicar se aparecer uma questão igual):
- Sempre comece identificando
e (aqui são intervalos). - Escreva
como o conjunto de pares com as desigualdades que definem os intervalos. - Procure a definição explícita de
. Se existir uma condição do tipo “ , =, \le,) ou uma função ”, substitua essa condição junto às desigualdades de e para obter . - Para encontrar
: resolva a existência de para cada (i.e., encontre todos os que satisfazem a condição com algum ). - Para encontrar
: resolva a existência de para cada (i.e., todos os que ocorrem em algum par).
Se na prova a definição de
estiver faltando como aqui, marque esse fato e responda a parte (a) deixando (b) e (c) como “impossível determinar” justificando que a regra que define
não foi dada — isso é uma resposta correta e bem justificada.
Resposta
a)
b) Impossível determinar a representação cartesiana de
porque a definição (a regra que diz quais pares
pertencem a
) não foi fornecida no enunciado.
c) Impossível determinar o domínio e a imagem de
por falta da definição de
. Observação geral: tem-se sempre
e
.