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Se \mathrm{x}=\sqrt{3-\sqrt{8}}-\sqrt{3+\sqrt{8}}, mostre que x é inteiro e negativo.

Passo 1

O enunciado dá a expressão
x=\sqrt{3-\sqrt{8}}-\sqrt{3+\sqrt{8}}
e pede para mostrar que x é inteiro e negativo. Informações importantes que temos:
  • As raízes quadradas são as raízes principais (não negativas), isto é, \sqrt{t}\ge0 para t\ge0.
  • Os radicandos 3-\sqrt{8} e 3+\sqrt{8} são positivos (pois \sqrt{8}<3), então as raízes são bem definidas e positivas.

Passo 2

Para organizar a conta, defino
a=\sqrt{3-\sqrt{8}},\qquad b=\sqrt{3+\sqrt{8}},
assim x=a-b. Vou calcular o produto ab. Usando a propriedade de produto de radicais (quando ambos não negativos, \sqrt{u}\sqrt{v}=\sqrt{uv}) e a identidade de diferença de quadrados, temos
ab=\sqrt{(3-\sqrt{8})(3+\sqrt{8})}=\sqrt{9-(\sqrt{8})^2}=\sqrt{9-8}=\sqrt{1}=1.
Aqui usei que (u-v)(u+v)=u^2-v^2 com u=3 e v=\sqrt{8}, e que \sqrt{1}=1 (raiz principal).

Passo 3

Agora calculo x^2 usando a fórmula do quadrado da diferença:
(a-b)^2=a^2+b^2-2ab.
Como a^2=3-\sqrt{8} e b^2=3+\sqrt{8}, soma-se:
a^2+b^2=(3-\sqrt{8})+(3+\sqrt{8})=6.
Substituindo ab=1 e a^2+b^2=6 na fórmula,
x^2=(a-b)^2=6-2\cdot 1=4.

Passo 4

Da igualdade \,x^2=4\, segue que x=\pm 2. Para decidir o sinal, note que b=\sqrt{3+\sqrt{8}} tem radicando maior que a=\sqrt{3-\sqrt{8}}, logo b>a. Portanto x=a-b<0. Conclui-se que o sinal é negativo, logo x=-2.

Passo 5

Resumo das ideias usadas (pequena revisão para a prova):
  • Usar substituições (como a e b) simplifica manipulações com raízes.
  • Produto de raízes pode ser convertido em raiz do produto: \sqrt{u}\sqrt{v}=\sqrt{uv} quando u,v\ge0.
  • Identidade (u-v)(u+v)=u^2-v^2 é muito útil para eliminar radicais conjugados.
  • Para decidir o sinal depois de obter x^2, compare os termos originais ou use que raízes principais são não negativas.

Resposta

-2

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