Responda: (10 pontos) 10
Se
, mostre que x é inteiro e negativo.
Passo 1
O enunciado dá a expressão
e pede para mostrar que
é inteiro e negativo. Informações importantes que temos:
- As raízes quadradas são as raízes principais (não negativas), isto é,
para . - Os radicandos
e são positivos (pois ), então as raízes são bem definidas e positivas.
Passo 2
Para organizar a conta, defino
assim
. Vou calcular o produto
. Usando a propriedade de produto de radicais (quando ambos não negativos,
) e a identidade de diferença de quadrados, temos
Aqui usei que
com
e
, e que
(raiz principal).
Passo 3
Agora calculo
usando a fórmula do quadrado da diferença:
Como
e
, soma-se:
Substituindo
e
na fórmula,
Passo 4
Da igualdade
segue que
. Para decidir o sinal, note que
tem radicando maior que
, logo
. Portanto
. Conclui-se que o sinal é negativo, logo
.
Passo 5
Resumo das ideias usadas (pequena revisão para a prova):
- Usar substituições (como
e ) simplifica manipulações com raízes. - Produto de raízes pode ser convertido em raiz do produto:
quando . - Identidade
é muito útil para eliminar radicais conjugados. - Para decidir o sinal depois de obter
, compare os termos originais ou use que raízes principais são não negativas.