(2,5 pontos) Encontre a função que seja solução da equação diferencial
sujeita ao valor inicial
e
.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a função solução da equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea, sujeita às condições iniciais dadas. Dados do problema:
- Equação diferencial:
- Condições iniciais:
As perguntas implícitas são: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Escolha do método e montagem da equação característica (explicando o porquê).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma , porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial e isso reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para
. Substituindo
em
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma
obtém-se a equação característica
Aqui
é a incógnita da equação algébrica; suas raízes determinam a forma geral das soluções da EDO.
Passo 3
Resolver a equação característica (usar fórmula quadrática) e interpretar as raízes.
A equação é quadrática. Pela fórmula de Bhaskara:
A equação
Como
, as raízes são complexas conjugadas:
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas
, a solução geral real da EDO é
onde
e
são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui
e
.
Passo 4
Escrever a solução geral com constantes e explicar o significado das constantes.
Com e
, a solução geral é
Com
Explicação:
representa a parte exponencial (decresce ou cresce conforme
); o par
representa a oscilação com frequência angular
. As constantes
e
ajustam amplitude e fase da combinação, e são fixadas pelas condições iniciais.
Passo 5
Calcular a derivada
para aplicar a condição inicial
; mostrar uso da regra do produto e das derivadas de seno/cosseno.
Derivando com a regra do produto:
Derivando
Sabendo que
,
e
, obtemos
Fatorando
e reorganizando os coeficientes de
e
:
Passo 6
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Avaliar em
:
Avaliar
Como
, conclui-se
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
.
Avaliar em
usando a expressão obtida:
Avaliar
Logo
. Substituindo
e impondo
:
portanto
Passo 8
Resumo dos constantes obtidas e conclusão (sem escrever a resposta final completa aqui).
Encontramos e
. Esses valores determinam a solução única da equação diferencial com as condições iniciais dadas.
Encontramos