(2,5 pontos) Encontre a função que seja solução da equação diferencial
y^{\prime \prime}-8 y^{\prime}+41 y=0
sujeita ao valor inicial y(0)=3 e y^{\prime}(0)=22.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a função solução da equação diferencial de segunda ordem, linear e homogênea, sujeita às condições iniciais dadas. Dados do problema:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+41y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=3,\qquad y^{\prime}(0)=22.
As perguntas implícitas são: encontrar a função y(x) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Escolha do método e montagem da equação característica (explicando o porquê).
Para equações lineares homogêneas com coeficientes constantes, procura-se soluções da forma \,y(x)=e^{r x}\,, porque exponenciais transformam derivadas em múltiplos da própria exponencial e isso reduz a equação diferencial a uma equação algébrica para r. Substituindo y=e^{r x} em
y^{\prime\prime}-8y^{\prime}+41y=0
obtém-se a equação característica
r^{2}-8r+41=0.
Aqui r é a incógnita da equação algébrica; suas raízes determinam a forma geral das soluções da EDO.

Passo 3

Resolver a equação característica (usar fórmula quadrática) e interpretar as raízes.
A equação \,r^{2}-8r+41=0\, é quadrática. Pela fórmula de Bhaskara:
r=\frac{8\pm\sqrt{(-8)^{2}-4\cdot1\cdot41}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{64-164}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{-100}}{2}.
Como \sqrt{-100}=10\,\mathrm{i}, as raízes são complexas conjugadas:
r=4\pm 5\,\mathrm{i}.
Quando a equação característica tem raízes complexas conjugadas a\pm b\,\mathrm{i}, a solução geral real da EDO é
y(x)=e^{a x}\bigl(C_{1}\cos(b x)+C_{2}\sin(b x)\bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes reais a determinar pelas condições iniciais. Aqui a=4 e b=5.

Passo 4

Escrever a solução geral com constantes e explicar o significado das constantes.
Com a=4 e b=5, a solução geral é
y(x)=e^{4x}\bigl(C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x)\bigr).
Explicação: e^{4x} representa a parte exponencial (decresce ou cresce conforme a); o par \cos(5x),\sin(5x) representa a oscilação com frequência angular 5. As constantes C_{1} e C_{2} ajustam amplitude e fase da combinação, e são fixadas pelas condições iniciais.

Passo 5

Calcular a derivada y^{\prime}(x) para aplicar a condição inicial y^{\prime}(0)=22; mostrar uso da regra do produto e das derivadas de seno/cosseno.
Derivando y(x)=e^{4x}\bigl(C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x)\bigr) com a regra do produto:
y^{\prime}(x)=\bigl(e^{4x}\bigr)^{\prime}\bigl(C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x)\bigr) +e^{4x}\bigl(C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x)\bigr)^{\prime}.
Sabendo que \bigl(e^{4x}\bigr)^{\prime}=4e^{4x}, \bigl(\cos(5x)\bigr)^{\prime}=-5\sin(5x) e \bigl(\sin(5x)\bigr)^{\prime}=5\cos(5x), obtemos
y^{\prime}(x)=4e^{4x}\bigl(C_{1}\cos(5x)+C_{2}\sin(5x)\bigr) +e^{4x}\bigl(-5C_{1}\sin(5x)+5C_{2}\cos(5x)\bigr).
Fatorando e^{4x} e reorganizando os coeficientes de \cos e \sin:
y^{\prime}(x)=e^{4x}\bigl((4C_{1}+5C_{2})\cos(5x)+(4C_{2}-5C_{1})\sin(5x)\bigr).

Passo 6

Aplicar a condição inicial y(0)=3 para determinar C_{1}.
Avaliar y(x) em x=0:
y(0)=e^{0}\bigl(C_{1}\cos 0 + C_{2}\sin 0\bigr)=1\cdot(C_{1}\cdot 1 + C_{2}\cdot 0)=C_{1}.
Como y(0)=3, conclui-se
C_{1}=3.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y^{\prime}(0)=22 para determinar C_{2}.
Avaliar y^{\prime}(x) em x=0 usando a expressão obtida:
y^{\prime}(0)=e^{0}\bigl((4C_{1}+5C_{2})\cos 0+(4C_{2}-5C_{1})\sin 0\bigr)=(4C_{1}+5C_{2})\cdot 1 + (4C_{2}-5C_{1})\cdot 0.
Logo \,y^{\prime}(0)=4C_{1}+5C_{2}. Substituindo C_{1}=3 e impondo y^{\prime}(0)=22:
4\cdot 3 + 5C_{2}=22 \quad\Rightarrow\quad 12+5C_{2}=22 \quad\Rightarrow\quad 5C_{2}=10,
portanto
C_{2}=2.

Passo 8

Resumo dos constantes obtidas e conclusão (sem escrever a resposta final completa aqui).
Encontramos C_{1}=3 e C_{2}=2. Esses valores determinam a solução única da equação diferencial com as condições iniciais dadas.

Resposta

y(x)=e^{4x}\bigl(3\cos(5x)+2\sin(5x)\bigr)

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