Calcule a integral
\int_{-2}^{0}\left(6 x^{3}-x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida
\displaystyle \int_{-2}^{0}\left(6 x^{3}-x\right)\,d x.
Informações dadas:
  • A função a integrar (integrando) é \,6x^{3}-x\,.
  • Os limites de integração são a=-2 (inferior) e b=0 (superior).
  • A tarefa é encontrar o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Estratégia (ferramenta que vamos usar): a Regra Fundamental do Cálculo. Ela diz que se F é uma antiderivada (primitiva) de f, ou seja, F'(x)=f(x), então a integral definida de f entre a e b vale
\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b)-F(a).
Aqui f(x)=6x^{3}-x. Nosso trabalho será:
  1. encontrar uma antiderivada F(x) de f(x);
  2. calcular F(0)-F(-2).

Passo 3

Como achar a antiderivada: usamos a regra da potência e a regra do fator constante. A regra da potência diz
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}+C\quad\text{para }n\neq -1,
onde C é a constante de integração. Além disso,
\int c\cdot g(x)\,dx = c\int g(x)\,dx
para qualquer constante c.
Aplicando isso termo a termo em f(x)=6x^{3}-x:
  • Para \int 6x^{3}\,dx: tiramos o 6 para fora e usamos a potência com n=3:
\int 6x^{3}\,dx = 6\cdot\frac{x^{4}}{4} = \frac{6}{4}x^{4} = \frac{3}{2}x^{4}.
  • Para \int (-x)\,dx: é -1 vezes \int x\,dx, com n=1:
\int -x\,dx = -\frac{x^{2}}{2}.
Somando as duas primitivas, uma antiderivada F(x) é
F(x)=\frac{3}{2}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}.
(Não precisamos da constante C ao calcular integral definida.)

Passo 4

Agora avaliamos F nos limites e subtraímos:
\int_{-2}^{0}\left(6 x^{3}-x\right)\,dx = F(0)-F(-2).
Calculemos F(0) e F(-2):
  • F(0)=\dfrac{3}{2}\cdot 0^{4}-\dfrac{1}{2}\cdot 0^{2}=0.
  • F(-2)=\dfrac{3}{2}\cdot (-2)^{4}-\dfrac{1}{2}\cdot (-2)^{2}.
    Calcule passo a passo:
    (-2)^{4}=16, então \dfrac{3}{2}\cdot 16 = 24.
    (-2)^{2}=4, então \dfrac{1}{2}\cdot 4 = 2.
    Portanto F(-2)=24-2=22.
Logo
\int_{-2}^{0}\left(6 x^{3}-x\right)\,dx = F(0)-F(-2)=0-22=-22.

Passo 5

Comentário didático rápido (para fixar): usamos a propriedade linear da integral (pode separar em integrais de cada termo) e a regra da potência para obter a primitiva. Um jeito alternativo de checar mentalmente: calcular separadamente
\int_{-2}^{0}6x^{3}\,dx = \frac{3}{2}x^{4}\Big|_{-2}^{0} = -24
e
\int_{-2}^{0}x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\Big|_{-2}^{0} = -2,
então -24 - (-2) = -22, que coincide com o resultado acima. Bom trabalho — já estamos indo bem!

Resposta

-22

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