( 2,5 pontos) Encontre a solução geral da EDO: y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-15 y=13 \sin (x).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
y'' - 2y' - 15y = 13\sin(x).
O que pede: encontrar a solução geral y(x) dessa EDO.
Informações relevantes do enunciado:
  • É uma EDO linear de segunda ordem;
  • O termo não homogêneo (forçamento) é 13\sin(x).

Passo 2

Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
y'' - 2y' - 15y = 0.
Para isso usamos o polinômio característico. Assumimos soluções da forma y=e^{rx} e substituímos na homogênea, obtendo o polinômio
r^{2} - 2r - 15 = 0.
Agora resolvemos essa equação quadrática para r. Usando fórmula de Bhaskara (ou fatoração, se possível):
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^{2} - 4\cdot1\cdot(-15)}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{4+60}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2}.
Portanto as raízes são
r_{1} = 5,\qquad r_{2} = -3.
Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = C_{1} e^{5x} + C_{2} e^{-3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular y_{p}(x) da equação completa. O termo forçante é 13\sin(x). Pelo método dos coeficientes a determinar, quando a força é seno ou cosseno de frequência 1, tentamos um ansatz (chute) da forma
y_{p}(x) = A\cos(x) + B\sin(x),
onde A e B são constantes a determinar. Observação importante: antes de usar esse chute, verifica-se se \cos(x) ou \sin(x) são soluções da homogênea; aqui as soluções da homogênea são exponenciais e^{5x} e e^{-3x}, portanto não há coincidência/resonância com \sin(x) ou \cos(x). Logo o ansatz acima é apropriado.

Passo 4

Calculamos as derivadas de y_{p}. Derivando termo a termo:
y_{p}'(x) = -A\sin(x) + B\cos(x),
y_{p}''(x) = -A\cos(x) - B\sin(x).

Passo 5

Substituímos y_{p}, y_{p}' e y_{p}'' na equação diferencial y'' - 2y' - 15y = 13\sin(x). O lado esquerdo fica:
y_{p}'' - 2y_{p}' - 15y_{p} = \bigl(-A\cos x - B\sin x\bigr) - 2\bigl(-A\sin x + B\cos x\bigr) - 15\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).
Agora agrupamos os termos em \cos x e \sin x. Primeiro simplificamos cada parte:
  • Coeficiente de \cos x:
(-A) - 2(B) - 15A = -A - 2B - 15A = -16A - 2B.
  • Coeficiente de \sin x:
(-B) - 2(-A) - 15B = -B + 2A - 15B = 2A - 16B.
Portanto
y_{p}'' - 2y_{p}' - 15y_{p} = \bigl(-16A - 2B\bigr)\cos x + \bigl(2A - 16B\bigr)\sin x.

Passo 6

Queremos que a expressão anterior seja igual a 13\sin x, isto é:
\bigl(-16A - 2B\bigr)\cos x + \bigl(2A - 16B\bigr)\sin x = 0\cdot\cos x + 13\cdot\sin x.
Igualando coeficientes de \cos x e \sin x obtemos o sistema linear para A e B:
\begin{cases} -16A - 2B = 0,\\[4pt] 2A - 16B = 13. \end{cases}]

Passo 7

Resolvemos o sistema. Da primeira equação temos
-16A - 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad 2B = -16A \quad\Rightarrow\quad B = -8A.
Substituímos na segunda equação:
2A - 16(-8A) = 13 \quad\Rightarrow\quad 2A + 128A = 13 \quad\Rightarrow\quad 130A = 13.
Logo
A = \frac{13}{130} = \frac{1}{10}.
Usando B = -8A,
B = -8\cdot\frac{1}{10} = -\frac{8}{10} = -\frac{4}{5}.

Passo 8

Assim uma solução particular é
y_{p}(x) = \frac{1}{10}\cos x - \frac{4}{5}\sin x.
Verificação rápida (opcional na prova): se substituir esse y_{p} no operador linear obtém-se 13\sin x, conforme construído.

Passo 9

A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1} e^{5x} + C_{2} e^{-3x} + \frac{1}{10}\cos x - \frac{4}{5}\sin x,
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{5x}+C_{2}e^{-3x}+\dfrac{1}{10}\cos x-\dfrac{4}{5}\sin x

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