( 2,5 pontos) Encontre a solução geral da EDO:
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes:
O que pede: encontrar a solução geral
dessa EDO.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- É uma EDO linear de segunda ordem;
- O termo não homogêneo (forçamento) é
.
Passo 2
Começamos encontrando a solução geral da equação homogênea associada:
Para isso usamos o polinômio característico. Assumimos soluções da forma
e substituímos na homogênea, obtendo o polinômio
Agora resolvemos essa equação quadrática para
. Usando fórmula de Bhaskara (ou fatoração, se possível):
Portanto as raízes são
Como são raízes reais distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Agora buscamos uma solução particular
da equação completa. O termo forçante é
. Pelo método dos coeficientes a determinar, quando a força é seno ou cosseno de frequência
, tentamos um ansatz (chute) da forma
onde
e
são constantes a determinar. Observação importante: antes de usar esse chute, verifica-se se
ou
são soluções da homogênea; aqui as soluções da homogênea são exponenciais
e
, portanto não há coincidência/resonância com
ou
. Logo o ansatz acima é apropriado.
Passo 4
Calculamos as derivadas de
. Derivando termo a termo:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial
. O lado esquerdo fica:
Agora agrupamos os termos em
e
. Primeiro simplificamos cada parte:
- Coeficiente de
:
- Coeficiente de
:
Portanto
Passo 6
Queremos que a expressão anterior seja igual a
, isto é:
Igualando coeficientes de
e
obtemos o sistema linear para
e
:
Passo 7
Resolvemos o sistema. Da primeira equação temos
Substituímos na segunda equação:
Logo
Usando
,
Passo 8
Assim uma solução particular é
Verificação rápida (opcional na prova): se substituir esse
no operador linear obtém-se
, conforme construído.
Passo 9
A solução geral da EDO é a soma da solução homogênea com a particular:
onde
e
são constantes arbitrárias determinadas por condições iniciais, se houver.