(5 pontos) Encontre a série de Taylor em torno de pi6 para a função f(x)=cos 4 x.

Passo 1

O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=cos(4x) em torno de a=π/6. Isso envolve cálculo de derivadas de f em x=a e aplicação da fórmula de Taylor em potências de (x−a). Vamos usar a definição de série de Taylor e lembrar as derivadas de coseno e seno.

Passo 2

Definimos a=π/6 e lembramos a fórmula de Taylor de ordem infinita:
f(x)=sumn=0^inftyf^(n)(a)n!(x-a)^n
Aqui vamos calcular f^{(n)}(a) para os primeiros n e depois perceber um padrão.

Passo 3

Calculamos as derivadas em x=a:
– f(x)=cos(4x) ⇒ f(a)=cos(4a)=cos(2π/3)=−1/2.
– f’(x)=−4sin(4x) ⇒ f’(a)=−4sin(2π/3)=−4·(√3/2)=−2√3.
– f’’(x)=−16cos(4x) ⇒ f’’(a)=−16cos(2π/3)=−16·(−1/2)=8.
– f’’’(x)=64sin(4x) ⇒ f’’’(a)=64sin(2π/3)=64·(√3/2)=32√3.
– f’’’’(x)=256cos(4x) ⇒ f’’’’(a)=256cos(2π/3)=256·(−1/2)=−128.
A cada derivada multiplicamos por mais 4 e alternamos cos/sin, gerando um padrão f{(n)}(a)=4n cos(2π/3 + nπ/2).

Passo 4

Substituindo na série de Taylor obtemos os primeiros termos e o termo geral.
Os primeiros termos são:
cos(4x)=−tfrac12 −2√3, (x−tfracπ6) +tfrac82!(x−tfracπ6)^2 +tfrac32√33!(x−tfracπ6)^3 −tfrac1284!(x−tfracπ6)^4 −tfrac512√35!(x−tfracπ6)^5+⋯
O termo geral fica:
sumn=0^infty4^ncosl(2π/3 + nπ/2r)n!(x−tfracπ6)^n

Resposta

cos(4x)=sumn=0^infty4^ncosl(tfrac2pi3+tfracnpi2r)n!,(x-tfracpi6)^n

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