(5 pontos) Encontre a série de Taylor em torno de
para a função
.
Passo 1
O enunciado pede a série de Taylor de f(x)=cos(4x) em torno de a=π/6. Isso envolve cálculo de derivadas de f em x=a e aplicação da fórmula de Taylor em potências de (x−a). Vamos usar a definição de série de Taylor e lembrar as derivadas de coseno e seno.
Passo 2
Definimos a=π/6 e lembramos a fórmula de Taylor de ordem infinita:
Aqui vamos calcular f^{(n)}(a) para os primeiros n e depois perceber um padrão.
Passo 3
Calculamos as derivadas em x=a:
– f(x)=cos(4x) ⇒ f(a)=cos(4a)=cos(2π/3)=−1/2.
– f’(x)=−4sin(4x) ⇒ f’(a)=−4sin(2π/3)=−4·(√3/2)=−2√3.
– f’’(x)=−16cos(4x) ⇒ f’’(a)=−16cos(2π/3)=−16·(−1/2)=8.
– f’’’(x)=64sin(4x) ⇒ f’’’(a)=64sin(2π/3)=64·(√3/2)=32√3.
– f’’’’(x)=256cos(4x) ⇒ f’’’’(a)=256cos(2π/3)=256·(−1/2)=−128.
A cada derivada multiplicamos por mais 4 e alternamos cos/sin, gerando um padrão f{(n)}(a)=4n cos(2π/3 + nπ/2).
– f(x)=cos(4x) ⇒ f(a)=cos(4a)=cos(2π/3)=−1/2.
– f’(x)=−4sin(4x) ⇒ f’(a)=−4sin(2π/3)=−4·(√3/2)=−2√3.
– f’’(x)=−16cos(4x) ⇒ f’’(a)=−16cos(2π/3)=−16·(−1/2)=8.
– f’’’(x)=64sin(4x) ⇒ f’’’(a)=64sin(2π/3)=64·(√3/2)=32√3.
– f’’’’(x)=256cos(4x) ⇒ f’’’’(a)=256cos(2π/3)=256·(−1/2)=−128.
A cada derivada multiplicamos por mais 4 e alternamos cos/sin, gerando um padrão f{(n)}(a)=4n cos(2π/3 + nπ/2).
Passo 4
Substituindo na série de Taylor obtemos os primeiros termos e o termo geral.
Os primeiros termos são:
Os primeiros termos são:
O termo geral fica: