(5 Pontos) Encontre a solução geral da equação diferencial
d yd x-5 y=-4 xy

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial de primeira ordem não-linear
dydx-5y=-4xy
Vamos usar o truque de multiplicar por y para envolver ddx(y^2) e, em seguida, fazer a substituição u=y^2 para obter uma equação linear em u.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por y vem
ydydx-5y^2=-4x
Como
ydydx=12d(y^2)dx,
definindo u=y^2 obtemos a equação linear
dudx-10,u=-8x

Passo 3

Para resolver
dudx-10u=-8x
calculamos o fator integrante
mu(x)=e^integral -10,dx=e^-10x
Multiplicando a equação por mu(x)
ddxl(u,e^-10xr)=-8x,e^-10x
Integrando ambos os lados:
u,e^-10x=integral -8x,e^-10x,dx + C
Fazendo a integral por partes encontra-se
integral -8x,e^-10x,dx =e^-10xl(45x+225r)
Logo
u,e^-10x =e^-10xl(45x+225r)+C Longrightarrow u=45x+225+C,e^10x

Passo 4

Voltando à variável original y, com u=y^2, obtemos
y^2=45x+225+C,e^10x
e, finalmente,
y(x)=pmraiz45x+225+C,e^10x

Resposta

y(x)=pmraiz45x+225+C,e^10x

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