4 Demonstre que a soma dos comprimentos das diagonais de um quadrilátero é menor que a soma dos comprimentos de seus lados.

Passo 1

Vamos considerar um quadrilátero convexo ABCD, cujos lados são AB, BC, CD, DA e cujas diagonais são AC e BD. Para demonstrar que
AC + BD < AB + BC + CD + DA
vamos usar a desigualdade triangular em triângulos apropriados.

Passo 2

No triângulo ABC, a desigualdade triangular diz que
AC < AB + BC
No triângulo ADC, temos
AC < AD + DC
Somando essas duas desigualdades obtemos
2AC < l(AB + BCr) + l(AD + DCr) = AB + BC + AD + DC

Passo 3

No triângulo ABD, a desigualdade triangular dá
BD < AB + AD
No triângulo BCD, temos
BD < BC + CD
Somando essas duas desigualdades resulta
2BD < l(AB + ADr) + l(BC + CDr) = AB + AD + BC + CD

Passo 4

Agora somamos as desigualdades obtidas:
2AC < AB + BC + AD + DC e 2BD < AB + AD + BC + CD
Logo,
2AC + 2BD < 2l(AB + BC + CD + DAr)
Dividindo ambos os lados por 2, concluímos
AC + BD < AB + BC + CD + DA

Resposta

Concluímos que a soma das diagonais é menor que a soma dos lados do quadrilátero:
AC + BD < AB + BC + CD + DA

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