4 Demonstre que a soma dos comprimentos das diagonais de um quadrilátero é menor que a soma dos comprimentos de seus lados.
Passo 1
Vamos considerar um quadrilátero convexo
, cujos lados são
,
,
,
e cujas diagonais são
e
. Para demonstrar que
vamos usar a desigualdade triangular em triângulos apropriados.
Passo 2
No triângulo
, a desigualdade triangular diz que
No triângulo
, temos
Somando essas duas desigualdades obtemos
Passo 3
No triângulo
, a desigualdade triangular dá
No triângulo
, temos
Somando essas duas desigualdades resulta
Passo 4
Agora somamos as desigualdades obtidas:
Logo,
Dividindo ambos os lados por
, concluímos
Resposta
Concluímos que a soma das diagonais é menor que a soma dos lados do quadrilátero: