(2 pontos) Encontre a solução particular para a equação diferencial abaixo com
:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Os dados são:
- Equação diferencial:
- Condição inicial:
O que o problema pede: encontrar a solução particular da equação diferencial que satisfaça a condição inicial
.
Passo 2
Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é
. Para isso dividimos ambos os lados por
(note que não podemos dividir por
; como a condição inicial é em
estamos no ramo
):
Aqui identificamos
e
. Vou explicar o significado: em uma equação linear de primeira ordem,
é a função que multiplica
e
é a fonte (lado direito). O método padrão é usar um fator integrante que torna o lado esquerdo a derivada de um produto.
Passo 3
Definição do fator integrante
: para
escolhe-se
Isso porque, pelo produto,
, e se
for igual a
então a soma vira exatamente
.
No nosso caso
, então
Como trabalhamos com
(condição inicial em
), podemos escrever
.
Passo 4
Multiplicamos a equação padrão por
. Escrevendo:
Agora reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Para confirmar, usando a regra do produto:
que coincide com o lado esquerdo acima. Então temos
Passo 5
Integramos ambos os lados em relação a
:
O lado esquerdo integra para
. O lado direito é uma integral potência:
onde
é a constante de integração. Assim:
Passo 6
Isolamos
multiplicando ambos os lados por
:
Isso é a família geral de soluções (válida para
).
Passo 7
Agora usamos a condição inicial
para determinar
. Substituindo
e
na expressão:
Então
Passo 8
Substituindo
na solução geral obtemos a solução particular:
Pequeno incentivo: você já viu todo o processo que costuma cair em prova — passar para a forma padrão, achar o fator integrante, multiplicar, integrar e aplicar a condição inicial. Dá para fazer isso calmamente em pouco tempo.