(2 pontos) Encontre a solução particular para a equação diferencial abaixo com y(1)=1 :
x \frac{d y}{d x}-4 y=x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e uma condição inicial. Os dados são:
  • Equação diferencial: x \frac{d y}{d x}-4 y = x.
  • Condição inicial: y(1)=1.
O que o problema pede: encontrar a solução particular da equação diferencial que satisfaça a condição inicial \,y(1)=1.

Passo 2

Primeiro vamos pôr a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem, isto é \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x). Para isso dividimos ambos os lados por x (note que não podemos dividir por x=0; como a condição inicial é em x=1 estamos no ramo x>0):
\frac{dy}{dx}-\frac{4}{x}\,y=1.
Aqui identificamos P(x)=-\dfrac{4}{x} e Q(x)=1. Vou explicar o significado: em uma equação linear de primeira ordem, P(x) é a função que multiplica y e Q(x) é a fonte (lado direito). O método padrão é usar um fator integrante que torna o lado esquerdo a derivada de um produto.

Passo 3

Definição do fator integrante \mu(x): para \dfrac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x) escolhe-se
\mu(x)=\exp\!\left(\int P(x)\,dx\right).
Isso porque, pelo produto, \dfrac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\,\dfrac{dy}{dx}+\mu' y, e se \mu' for igual a \mu P então a soma vira exatamente \mu\big(\dfrac{dy}{dx}+P y\big).
No nosso caso P(x)=-\dfrac{4}{x}, então
\mu(x)=\exp\!\left(\int -\frac{4}{x}\,dx\right)=\exp\!\big(-4\ln|x|\big)=|x|^{-4}.
Como trabalhamos com x>0 (condição inicial em x=1), podemos escrever \mu(x)=x^{-4}.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=x^{-4}. Escrevendo:
x^{-4}\frac{dy}{dx}-4x^{-5}y = x^{-4}.
Agora reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big). Para confirmar, usando a regra do produto:
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big)=x^{-4}\frac{dy}{dx}+(-4x^{-5})y,
que coincide com o lado esquerdo acima. Então temos
\frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big)=x^{-4}.

Passo 5

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(x^{-4}y\big)\,dx = \int x^{-4}\,dx.
O lado esquerdo integra para x^{-4}y. O lado direito é uma integral potência:
\int x^{-4}\,dx = \int x^{-4}\,dx = -\frac{1}{3}x^{-3} + C,
onde C é a constante de integração. Assim:
x^{-4}y = -\frac{1}{3}x^{-3} + C.

Passo 6

Isolamos y multiplicando ambos os lados por x^{4}:
y = -\frac{1}{3}x + C x^{4}.
Isso é a família geral de soluções (válida para x>0).

Passo 7

Agora usamos a condição inicial \,y(1)=1 para determinar C. Substituindo x=1 e y=1 na expressão:
1 = -\frac{1}{3}\cdot 1 + C\cdot 1^{4} = -\frac{1}{3} + C.
Então
C = 1 + \frac{1}{3} = \frac{4}{3}.

Passo 8

Substituindo C=\dfrac{4}{3} na solução geral obtemos a solução particular:
y(x) = -\frac{1}{3}x + \frac{4}{3}x^{4}.
Pequeno incentivo: você já viu todo o processo que costuma cair em prova — passar para a forma padrão, achar o fator integrante, multiplicar, integrar e aplicar a condição inicial. Dá para fazer isso calmamente em pouco tempo.

Resposta

\displaystyle y(x)=-\frac{1}{3}x+\frac{4}{3}x^{4}

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