(2 pontos) Resolva a equaçāo diferencial de segunda ordem linear nāo homogênea abaixo.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea e pede que a resolvamos:
Informações relevantes fornecidas:
- É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
- O termo não homogêneo (forçamento) é
.
O que se pede: - Encontrar a solução geral
da equação diferencial (ou seja, a família de soluções que depende de duas constantes arbitrárias).
Passo 2
Ideia geral (fórmula que vamos usar): para uma equação linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada (chamada solução complementar) e de uma solução particular da equação completa. Em símbolos:
onde
resolve
e
é qualquer função que satisfaça a equação original
Vou achar primeiro
e depois
.
Passo 3
Resolver a equação homogênea por método do polinômio característico. Substituímos
e obtemos a equação característica
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
logo as raízes são
e
.
Passo 4
Como as raízes
e
são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias (determinariam-se por condições iniciais, se houvessem).
Passo 5
Agora precisamos de uma solução particular
da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o termo não homogêneo é uma combinação de funções elementares (polinômios, exponenciais, senos, cossenos, ou produtos desses).
O termo forçante é
. A forma usual de tentativa para um forçamento
é
, com
constante indeterminada. Aqui
, então tentamos
Antes de prosseguir, é preciso verificar se
é solução da homogênea (ressonância). Isso ocorreria se
fosse raiz da característica. Mas as raízes encontradas foram
e
, então
não é raiz. Portanto a tentativa
é adequada (não precisamos multiplicar por
).
Passo 6
Calcular as derivadas de
e substituir na equação:
Substituindo em
:
Fatorando
:
Passo 7
Calcular o coeficiente numérico dentro do parêntese:
Então
Queremos que isso seja igual ao lado direito da equação original, isto é igual a
. Logo:
Como
nunca é zero, podemos dividir por
e obter:
Passo 8
Assim uma solução particular é
Portanto a solução geral da equação original é
com
constantes arbitrárias.
Passo 9
Comentário didático rápido (para a prova): se o forçamento fosse
(ou
), isso corresponderia a uma raiz da característica, ou seja haveria ressonância. Nesse caso a tentativa habitual
falharia (porque já pertence ao espaço das soluções homogêneas) e seria necessário multiplicar por
, tentando
(ou por
elevado ao multiplicidade da raiz). Aqui não houve ressonância porque
não é raiz da característica, então a tentativa simples funcionou.