(2 pontos) Resolva a equaçāo diferencial de segunda ordem linear nāo homogênea abaixo.
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+6 y=e^{x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial de segunda ordem não homogênea e pede que a resolvamos:
y''-5y'+6y=e^{x}.
Informações relevantes fornecidas:
  • É uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
  • O termo não homogêneo (forçamento) é \,e^{x}.
    O que se pede:
  • Encontrar a solução geral y(x) da equação diferencial (ou seja, a família de soluções que depende de duas constantes arbitrárias).

Passo 2

Ideia geral (fórmula que vamos usar): para uma equação linear de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes, a solução geral é a soma da solução geral da equação homogênea associada (chamada solução complementar) e de uma solução particular da equação completa. Em símbolos:
y(x)=y_c(x)+y_p(x),
onde y_c resolve
y''-5y'+6y=0,
e y_p é qualquer função que satisfaça a equação original
y''-5y'+6y=e^{x}.
Vou achar primeiro y_c e depois y_p.

Passo 3

Resolver a equação homogênea por método do polinômio característico. Substituímos y=e^{rx} e obtemos a equação característica
r^{2}-5r+6=0.
Agora resolvemos essa equação quadrática. Podemos fatorar:
r^{2}-5r+6=(r-2)(r-3)=0,
logo as raízes são r=2 e r=3.

Passo 4

Como as raízes r=2 e r=3 são reais e distintas, a solução geral da homogênea é
y_c(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias (determinariam-se por condições iniciais, se houvessem).

Passo 5

Agora precisamos de uma solução particular y_p da equação completa. Vou usar o método dos coeficientes indeterminados, que funciona bem quando o termo não homogêneo é uma combinação de funções elementares (polinômios, exponenciais, senos, cossenos, ou produtos desses).
O termo forçante é \,e^{x}. A forma usual de tentativa para um forçamento e^{\alpha x} é y_p=Ae^{\alpha x}, com A constante indeterminada. Aqui \alpha=1, então tentamos
y_p(x)=A e^{x}.
Antes de prosseguir, é preciso verificar se e^{x} é solução da homogênea (ressonância). Isso ocorreria se r=1 fosse raiz da característica. Mas as raízes encontradas foram 2 e 3, então r=1 não é raiz. Portanto a tentativa y_p=Ae^{x} é adequada (não precisamos multiplicar por x).

Passo 6

Calcular as derivadas de y_p e substituir na equação:
y_p=Ae^{x},\qquad y_p' = A e^{x},\qquad y_p''=A e^{x}.
Substituindo em y''-5y'+6y:
y_p''-5y_p'+6y_p = A e^{x} -5(A e^{x}) +6(A e^{x}).
Fatorando A e^{x}:
y_p''-5y_p'+6y_p = A e^{x}\bigl(1-5+6\bigr).

Passo 7

Calcular o coeficiente numérico dentro do parêntese:
1-5+6=2.
Então
y_p''-5y_p'+6y_p = 2A e^{x}.
Queremos que isso seja igual ao lado direito da equação original, isto é igual a e^{x}. Logo:
2A e^{x}=e^{x}.
Como e^{x} nunca é zero, podemos dividir por e^{x} e obter:
2A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.

Passo 8

Assim uma solução particular é
y_p(x)=\tfrac{1}{2}e^{x}.
Portanto a solução geral da equação original é
y(x)=y_c(x)+y_p(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+\tfrac{1}{2}e^{x},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Passo 9

Comentário didático rápido (para a prova): se o forçamento fosse e^{2x} (ou e^{3x}), isso corresponderia a uma raiz da característica, ou seja haveria ressonância. Nesse caso a tentativa habitual Ae^{2x} falharia (porque já pertence ao espaço das soluções homogêneas) e seria necessário multiplicar por x, tentando y_p=Ax e^{2x} (ou por x elevado ao multiplicidade da raiz). Aqui não houve ressonância porque 1 não é raiz da característica, então a tentativa simples funcionou.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{2x}+C_{2}e^{3x}+\tfrac{1}{2}e^{x}.

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