Seja
o sólido limitado pelas quádricas
e a esfera centrada na origem de raio igual a 3 , determine:
i. o volume de S
ii. a área total do bordo de S
Suponha que o sólido é feito de um material cuja densidade é uma função proporcional a distância ao eixo dos yy, calcule:
iii. a massa de S
iv. o centro de massa de S
i. o volume de S
ii. a área total do bordo de S
iii. a massa de S
iv. o centro de massa de S
Passo 1
Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
-
Superfícies dadas:
- Paraboloide:
. - Esfera centrada na origem de raio
: .
- Paraboloide:
-
O enunciado pede:
i. o volume de(onde é o sólido limitado por essas duas quádricas);
ii. a área total do bordo de;
iii. a massa desupondo densidade proporcional à distância ao eixo dos (isto é, proporcional a ou ao raio em -direção? — normalmente "distância ao eixo dos " = );
iv. o centro de massa de.
Observação: aqui listei exatamente as superfícies e as quatro perguntas para não me perder.
Passo 2
Analisar as posições relativas das duas superfícies (isto é a parte chave: entender se existe um sólido comum a ambas).
-
Para todo ponto
vale então para o paraboloideOu seja, o paraboloide atinge seu menor valor quando, e esse mínimo é . -
Para a esfera de raio
centrada na origem, os pontos têm coordenada satisfazendo logoEm particular, o maior valor dena esfera é .
Passo 3
Comparar os extremos encontrados:
- O menor valor de
no paraboloide é . - O maior valor de
na esfera é .
Como
, não existe nenhum ponto em
que satisfaça simultaneamente as duas equações (ou seja, as superfícies não se intersectam) e, de fato, o paraboloide está inteiramente acima da esfera. Portanto não há região comum delimitada por essas duas superfícies — o conjunto de pontos que seria o sólido
é o conjunto vazio.
Vou explicar de forma intuitiva: o “fundo” do paraboloide fica em
(acima do plano
), enquanto a esfera só alcança até
. Então a esfera está totalmente por baixo do paraboloide; não existe uma “câmara” fechada formada só por essas duas superfícies.
Passo 4
Consequências diretas da conclusão de que
é vazio (não há sólidos comuns limitados por ambas):
-
O volume de um conjunto vazio é
. Formalmente, qualquer integral de volume sobre uma região vazia é . -
A área do bordo de uma região vazia também é
(a fronteira do conjunto vazio é vazia). -
A massa, sendo a integral da densidade sobre o sólido
, é se é vazio. -
O centro de massa só é definido quando a massa total é positiva. Se a massa é
, o centro de massa não está definido (ou diz‑se que não existe / não é aplicável), porque a coordenada de centro de massa envolve divisão pela massa total.
Passo 5
Resumo didático e pequeno reforço para a prova (por que isso acontece e como reconhecer rapidamente):
-
Sempre compare as extremidades (mínimos/máximos) em direções relevantes: aqui bastou ver que
e para concluir que não há interseção. Isso é uma técnica rápida útil na prova: antes de tentar integrar, verifique se as superfícies realmente se cruzam. -
Se as superfícies não se cruzam, qualquer tentativa de parametrizar a curva de interseção ou de fazer integrais sobre uma região comum é perda de tempo: o resultado será trivial (zero ou “não existe”).
Resposta
i.
ii.
iii.
iv. Não definida (massa total ; centro de massa não existe / não é aplicável)
ii.
iii.
iv. Não definida (massa total