Seja S o sólido limitado pelas quádricas z=x^{2}+y^{2}+4 e a esfera centrada na origem de raio igual a 3 , determine:
i. o volume de S
ii. a área total do bordo de S
Suponha que o sólido é feito de um material cuja densidade é uma função proporcional a distância ao eixo dos yy, calcule:
iii. a massa de S
iv. o centro de massa de S

Passo 1

Vou escrever claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Superfícies dadas:
    • Paraboloide: z = x^{2}+y^{2}+4.
    • Esfera centrada na origem de raio 3: x^{2}+y^{2}+z^{2}=9.
  • O enunciado pede:
    i. o volume de S (onde S é o sólido limitado por essas duas quádricas);
    ii. a área total do bordo de S;
    iii. a massa de S supondo densidade proporcional à distância ao eixo dos y (isto é, proporcional a |x| ou ao raio em x-direção? — normalmente "distância ao eixo dos y" = |x|);
    iv. o centro de massa de S.
Observação: aqui listei exatamente as superfícies e as quatro perguntas para não me perder.

Passo 2

Analisar as posições relativas das duas superfícies (isto é a parte chave: entender se existe um sólido comum a ambas).
  • Para todo ponto (x,y) vale
    x^{2}+y^{2}\ge 0,
    então para o paraboloide
    z = x^{2}+y^{2}+4 \ge 4.
    Ou seja, o paraboloide atinge seu menor valor quando x=y=0, e esse mínimo é z_{\min}^{\text{paraboloide}}=4.
  • Para a esfera de raio 3 centrada na origem, os pontos têm coordenada z satisfazendo
    z^{2}=9-(x^{2}+y^{2}) \le 9,
    logo
    -3 \le z \le 3.
    Em particular, o maior valor de z na esfera é z_{\max}^{\text{esfera}}=3.

Passo 3

Comparar os extremos encontrados:
  • O menor valor de z no paraboloide é 4.
  • O maior valor de z na esfera é 3.
Como 4>3, não existe nenhum ponto em \mathbb{R}^{3} que satisfaça simultaneamente as duas equações (ou seja, as superfícies não se intersectam) e, de fato, o paraboloide está inteiramente acima da esfera. Portanto não há região comum delimitada por essas duas superfícies — o conjunto de pontos que seria o sólido S é o conjunto vazio.
Vou explicar de forma intuitiva: o “fundo” do paraboloide fica em z=4 (acima do plano z=4), enquanto a esfera só alcança até z=3. Então a esfera está totalmente por baixo do paraboloide; não existe uma “câmara” fechada formada só por essas duas superfícies.

Passo 4

Consequências diretas da conclusão de que S é vazio (não há sólidos comuns limitados por ambas):
  • O volume de um conjunto vazio é 0. Formalmente, qualquer integral de volume sobre uma região vazia é 0.
  • A área do bordo de uma região vazia também é 0 (a fronteira do conjunto vazio é vazia).
  • A massa, sendo a integral da densidade sobre o sólido S, é 0 se S é vazio.
  • O centro de massa só é definido quando a massa total é positiva. Se a massa é 0, o centro de massa não está definido (ou diz‑se que não existe / não é aplicável), porque a coordenada de centro de massa envolve divisão pela massa total.

Passo 5

Resumo didático e pequeno reforço para a prova (por que isso acontece e como reconhecer rapidamente):
  • Sempre compare as extremidades (mínimos/máximos) em direções relevantes: aqui bastou ver que \min z_{\text{paraboloide}} = 4 e \max z_{\text{esfera}} = 3 para concluir que não há interseção. Isso é uma técnica rápida útil na prova: antes de tentar integrar, verifique se as superfícies realmente se cruzam.
  • Se as superfícies não se cruzam, qualquer tentativa de parametrizar a curva de interseção ou de fazer integrais sobre uma região comum é perda de tempo: o resultado será trivial (zero ou “não existe”).

Resposta

i. 0
ii. 0
iii. 0
iv. Não definida (massa total =0; centro de massa não existe / não é aplicável)

Exercícios relacionados