( 2,5 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
O problema pede encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial de valor inicial:
Informações dadas:
- A equação diferencial é a relação entre
e sua derivada . - A condição inicial é
. - O domínio é
(isso permite dividir por potências de sem problema).
O objetivo é obter explicitamenteque satisfaça a equação para e que verifique a condição inicial.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como
, posso dividir ambos os lados por
. Assim:
Aqui identifiquei
e
. Para resolver essa equação linear uso o fator integrante
definido por
Explico: multiplicando a equação por
transformamos o lado esquerdo em
, o que facilita integrar.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Temos
portanto
já que
permite usar
.
Passo 4
Multiplico a equação padrão por
. O lado esquerdo vira derivada do produto:
Explicando:
. Dividindo essa igualdade por
volta-se à equação original, então a transformação está correta.
Passo 5
Integro ambos os lados em relação a
:
No lado esquerdo a integral é
. No lado direito faço integração por partes para
. Escolho:
Aplicando a fórmula
:
Calculando a última integral:
Logo
onde
é constante de integração.
Passo 6
Igualando e isolando
:
Dividindo por
(novamente válido pois
):
Esta é a solução geral da equação diferencial, com constante
.
Passo 7
Aplicar a condição inicial
para determinar
. Substituo
e uso
:
Como
, segue
Passo 8
Substituo
na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o valor inicial:
Posso reescrever de forma mais direta: