( 2,5 pontos) Encontre a solução do problema de valor inicial:
t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=\ln t ; y(1)=0, t>0

Passo 1

O problema pede encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial de valor inicial:
t^{3} y^{\prime}+4 t^{2} y=\ln t,\qquad y(1)=0,\qquad t>0.
Informações dadas:
  • A equação diferencial é a relação entre y e sua derivada y'.
  • A condição inicial é y(1)=0.
  • O domínio é t>0 (isso permite dividir por potências de t sem problema).
    O objetivo é obter explicitamente y(t) que satisfaça a equação para t>0 e que verifique a condição inicial.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Como t>0, posso dividir ambos os lados por t^{3}. Assim:
y'+\frac{4}{t}\,y=\frac{\ln t}{t^{3}}.
Aqui identifiquei p(t)=\dfrac{4}{t} e q(t)=\dfrac{\ln t}{t^{3}}. Para resolver essa equação linear uso o fator integrante \mu(t) definido por
\mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right).
Explico: multiplicando a equação por \mu(t) transformamos o lado esquerdo em (\mu y)', o que facilita integrar.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(t). Temos
\int p(t)\,dt=\int \frac{4}{t}\,dt=4\ln t,
portanto
\mu(t)=\exp\!\big(4\ln t\big)=t^{4},
já que t>0 permite usar \exp(\ln t^{4})=t^{4}.

Passo 4

Multiplico a equação padrão por \mu(t)=t^{4}. O lado esquerdo vira derivada do produto:
(t^{4}y)'=t^{4}\cdot\frac{\ln t}{t^{3}}=t\ln t.
Explicando: (t^{4}y)'=t^{4}y'+4t^{3}y. Dividindo essa igualdade por t volta-se à equação original, então a transformação está correta.

Passo 5

Integro ambos os lados em relação a t:
\int (t^{4}y)'\,dt=\int t\ln t\,dt.
No lado esquerdo a integral é t^{4}y. No lado direito faço integração por partes para \int t\ln t\,dt. Escolho:
u=\ln t\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{t}\,dt,
dv=t\,dt\quad\Rightarrow\quad v=\frac{t^{2}}{2}.
Aplicando a fórmula \int u\,dv=uv-\int v\,du:
\int t\ln t\,dt=\frac{t^{2}}{2}\ln t-\int \frac{t^{2}}{2}\cdot\frac{1}{t}\,dt =\frac{t^{2}}{2}\ln t-\frac{1}{2}\int t\,dt.
Calculando a última integral:
\frac{1}{2}\int t\,dt=\frac{1}{2}\cdot\frac{t^{2}}{2}=\frac{t^{2}}{4}.
Logo
\int t\ln t\,dt=\frac{t^{2}}{2}\ln t-\frac{t^{2}}{4}+C,
onde C é constante de integração.

Passo 6

Igualando e isolando y:
t^{4}y=\frac{t^{2}}{2}\ln t-\frac{t^{2}}{4}+C.
Dividindo por t^{4} (novamente válido pois t>0):
y(t)=\frac{\dfrac{t^{2}}{2}\ln t-\dfrac{t^{2}}{4}+C}{t^{4}} =\frac{1}{2}t^{-2}\ln t-\frac{1}{4}t^{-2}+C\,t^{-4}.
Esta é a solução geral da equação diferencial, com constante C.

Passo 7

Aplicar a condição inicial y(1)=0 para determinar C. Substituo t=1 e uso \ln 1=0:
y(1)=\frac{1}{2}\cdot1^{-2}\cdot 0-\frac{1}{4}\cdot1^{-2}+C\cdot1^{-4}=-\frac{1}{4}+C.
Como y(1)=0, segue
-\frac{1}{4}+C=0\quad\Rightarrow\quad C=\frac{1}{4}.

Passo 8

Substituo C=\dfrac{1}{4} na solução geral para obter a solução particular que satisfaz o valor inicial:
y(t)=\frac{1}{2}t^{-2}\ln t-\frac{1}{4}t^{-2}+\frac{1}{4}t^{-4}.
Posso reescrever de forma mais direta:
y(t)=\frac{\ln t}{2t^{2}}-\frac{1}{4t^{2}}+\frac{1}{4t^{4}},\qquad t>0.

Resposta

y(t)=\frac{\ln t}{2t^{2}}-\frac{1}{4t^{2}}+\frac{1}{4t^{4}},\qquad t>0

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