Classifique as equações diferenciais abaixo quanto as três formas diferentes de classificação.
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
onde
depende de duas variáveis independentes
e
(isso aparece pelas derivadas
). O pedido é: classificar essa equação segundo três formas diferentes de classificação.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- A equação contém derivadas parciais
, e . - Aparece o termo não linear
(função não linear de ). - O lado direito é
(função apenas de ).
Não vou resolver nada ainda; só listei o que o enunciado fornece e o que é pedido.
Passo 2
Primeira forma de classificação: dizer se é uma EDO (ordinária) ou uma EDP (parcial).
Definição curta e didática: uma equação é EDO se há apenas uma variável independente (derivadas totais), e é EDP se há mais de uma variável independente (aparecem derivadas parciais). Aqui vemos as notações e
, ou seja, derivadas parciais em relação a duas variáveis independentes distintas. Portanto, concluímos que a equação é uma equação diferencial parcial (EDP). Vou anotar isso como a primeira classificação.
Definição curta e didática: uma equação é EDO se há apenas uma variável independente (derivadas totais), e é EDP se há mais de uma variável independente (aparecem derivadas parciais). Aqui vemos as notações
Passo 3
Segunda forma de classificação: ordem da equação.
Conceito: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas presentes na equação. Em EDPs, conta-se a maior ordem de derivada parcial que aparece.
Na equação dada o termo de maior ordem é , que é uma derivada parcial de segunda ordem (derivada mista: primeira em
e primeira em
, total de ordem
). Não há derivadas de ordem superior a 2.
Logo a ordem da EDP é a segunda ordem. Vou anotar isso como a segunda classificação.
Conceito: a ordem de uma equação diferencial é o maior número de derivadas presentes na equação. Em EDPs, conta-se a maior ordem de derivada parcial que aparece.
Na equação dada o termo de maior ordem é
Logo a ordem da EDP é a segunda ordem. Vou anotar isso como a segunda classificação.
Passo 4
Terceira forma de classificação: linearidade / tipo quanto à dependência de
e suas derivadas (linear, semilinear, quasilinear, completamente não linear).
Primeiro, relembrar o que significa ser linear: uma equação diferencial é linear se a incógnita e todas as suas derivadas aparecem apenas de forma linear (coeficientes podem depender só nas variáveis independentes) e não aparecem funções não-lineares de
como
,
, etc. Uma forma prática de testar linearidade é verificar se o operador associado satisfaz superposição:
para quaisquer escalares
e funções
.
Na equação dada há o termo . Esse termo é uma função não linear de
: em geral
. Logo a presença de
quebra a propriedade de linearidade. Portanto a EDP é não linear. Vou ilustrar com um contraexemplo simples: pegue a função
. Se a equação fosse linear, multiplicar
por
faria o lado não derivativo multiplicar por
; mas
não é igual a
. Isso mostra a falha da superposição e confirma que não é linear.
Primeiro, relembrar o que significa ser linear: uma equação diferencial é linear se a incógnita
Na equação dada há o termo
Passo 5
Agora afinar a classificação não linear: semilinear, quasilinear ou totalmente (completamente) não linear. Vou definir cada termo de forma simples:
- Semilinear: os termos de maior ordem aparecem de forma linear (isto é, as derivadas de maior ordem aparecem só multiplicadas por funções que dependem apenas das variáveis independentes), enquanto termos não lineares podem aparecer em ordens inferiores (por exemplo
ou sem multiplicar derivadas de maior ordem). - Quasilinear: os termos de maior ordem ainda aparecem de forma linear, mas seus coeficientes podem depender também de
(por exemplo coeficiente multiplicando a derivada de maior ordem). - Completamente não linear (fully nonlinear): as derivadas de maior ordem aparecem de modo não linear (por exemplo
ou funções não lineares das derivadas de maior ordem).
Na equação dada o termo de maior ordem ée aparece com coeficiente , ou seja, linear em relação à derivada de maior ordem e o coeficiente não depende de (depende de nada: é constante). Os outros termos envolvendo derivadas de ordem inferior, e , aparecem linearmente também (com coeficiente e , que dependem apenas de ). O único termo não linear é , que depende de mas é de ordem zero (não envolve derivadas de maior ordem). Portanto a equação é não linear, mas com a não linearidade aparecendo apenas em ordem inferior — isto é a definição de semilinear.
Conclusão: a equação é semilinear (não linear por causa de, mas linear nos derivados de maior ordem).
Passo 6
Comentário extra (útil na prova): sobre homogeneidade. Para equações lineares “homogênea” significa que o lado direito é zero; aqui há um termo
no lado direito, que depende só de
, então, se fosse linear, seria não-homogênea. Para a nossa classificação como semilinear (não linear), o termo
é um termo fonte (não nulo), ou seja, a equação não é homogênea no sentido de ter lado direito nulo. Não é pedido explicitamente, mas é uma propriedade que normalmente se fala junto com linearidade.
Resposta
Tipo: equação diferencial parcial (EDP).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: não linear; mais precisamente é semilinear (não linear devido ao termo ; os termos de maior ordem aparecem linearmente).
Ordem: segunda ordem.
Linearidade: não linear; mais precisamente é semilinear (não linear devido ao termo