4- (2,5 pontos) Encontre a solução do sistema abaixo pelo método das matrizes.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar a solução do sistema de derivadas usando o método das matrizes. As equações dadas são:
Informações relevantes que temos:
Não há condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constantes arbitrárias.]
Passo 2
Escrevemos o sistema em forma matricial. Defina o vetor
e a matriz de coeficientes
O sistema fica compactamente
Explicação didática rápida: para sistemas lineares homogêneos como este, procuramos soluções da forma
, onde
e
(vetor não nulo) satisfazem
. Então precisamos achar os autovalores
e autovetores
de
.]
Passo 3
Encontramos o polinômio característico de
para achar os autovalores
. O polinômio é
Calculando o determinante:
Desenvolvendo:
Agora resolvemos
. A fórmula quadrática dá
Portanto os autovalores são complexos conjugados
e
.]
Passo 4
Agora achamos um autovetor correspondente a
. Resolvemos
:
Isto é
Da primeira linha obtemos
, então
Escolhemos
(qualquer múltiplo não-nulo serve), então
Escrevemos
como parte real mais i vezes parte imaginária:
Passo 5
Explicando a estratégia para obter soluções reais: se
e
com
reais, então
As partes real e imaginária dessa expressão são duas soluções reais independentes do sistema. No nosso caso
e
. Assim duas soluções reais fundamentais são
Esta é uma forma padrão e prática de transformar uma solução complexa em duas reais.
Passo 6
Calculamos
e
com os vetores
e
encontrados.
Primeiro
Primeiro
Portanto
Em seguida
Portanto
Passo 7
Como
e
são soluções reais linearmente independentes, a solução geral do sistema é a combinação linear delas com constantes reais
e
:
Escrevendo componente a componente (isto é, expressando
e
):
Onde
e
são constantes reais determinadas por quaisquer condições iniciais que você tiver (não fornecidas aqui).]