4- (2,5 pontos) Encontre a solução do sistema abaixo pelo método das matrizes.
\begin{aligned} & \frac{d x}{d t}=5 x+y \\\ & \frac{d y}{d t}=-2 x+3 y \end{aligned}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a solução do sistema de derivadas usando o método das matrizes. As equações dadas são:
\frac{d x}{d t}=5x+y
\frac{d y}{d t}=-2x+3y
Informações relevantes que temos:
\begin{cases} \text{duas equações diferenciais lineares acopladas de 1ª ordem},\\[4pt] \text{o enunciado indica usar o método das matrizes (ou seja, escrever em forma matricial e fazer análise espectral).} \end{cases}çõªéá
Não há condições iniciais fornecidas, então procuraremos a solução geral com constantes arbitrárias.]

Passo 2

Escrevemos o sistema em forma matricial. Defina o vetor
X(t)=\begin{pmatrix}x(t)\\[2pt]y(t)\end{pmatrix}
e a matriz de coeficientes
A=\begin{pmatrix}5 & 1\\[2pt]-2 & 3\end{pmatrix}.
O sistema fica compactamente
\frac{dX}{dt}=A\,X.
Explicação didática rápida: para sistemas lineares homogêneos como este, procuramos soluções da forma X(t)=e^{\lambda t}v, onde \lambda e v (vetor não nulo) satisfazem A v=\lambda v. Então precisamos achar os autovalores \lambda e autovetores v de A.]

Passo 3

Encontramos o polinômio característico de A para achar os autovalores \lambda. O polinômio é
\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}5-\lambda & 1\\[2pt]-2 & 3-\lambda\end{pmatrix}.
Calculando o determinante:
\det(A-\lambda I)=(5-\lambda)(3-\lambda)-1\cdot(-2).
Desenvolvendo:
(5-\lambda)(3-\lambda)+2=15-5\lambda-3\lambda+\lambda^2+2=\lambda^2-8\lambda+17.
Agora resolvemos \lambda^2-8\lambda+17=0. A fórmula quadrática dá
\lambda=\frac{8\pm\sqrt{64-68}}{2}=\frac{8\pm\sqrt{-4}}{2}=4\pm i.
Portanto os autovalores são complexos conjugados \lambda_{1}=4+i e \lambda_{2}=4-i.]

Passo 4

Agora achamos um autovetor correspondente a \lambda_{1}=4+i. Resolvemos (A-\lambda_{1}I)v=0:
\begin{pmatrix}5-(4+i) & 1\\[2pt]-2 & 3-(4+i)\end{pmatrix} \begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\end{pmatrix}.
Isto é
\begin{pmatrix}1-i & 1\\[2pt]-2 & -1-i\end{pmatrix}\begin{pmatrix}v_1\\[2pt]v_2\end{pmatrix}=0.
Da primeira linha obtemos (1-i)v_1+v_2=0, então
v_2=-(1-i)v_1.
Escolhemos v_1=1 (qualquer múltiplo não-nulo serve), então
v=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1+i\end{pmatrix}.
Escrevemos v como parte real mais i vezes parte imaginária:
v=p+i q,\quad\text{com}\quad p=\begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix},\qquad q=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}.]

Passo 5

Explicando a estratégia para obter soluções reais: se \lambda=\alpha+i\beta e v=p+iq com p,q reais, então
e^{\lambda t}v=e^{(\alpha+i\beta)t}(p+iq)=e^{\alpha t}\Big((p\cos\beta t-q\sin\beta t)+i(p\sin\beta t+q\cos\beta t)\Big).
As partes real e imaginária dessa expressão são duas soluções reais independentes do sistema. No nosso caso \alpha=4 e \beta=1. Assim duas soluções reais fundamentais são
u_1(t)=e^{4t}\big(p\cos t-q\sin t\big),\qquad u_2(t)=e^{4t}\big(p\sin t+q\cos t\big).
Esta é uma forma padrão e prática de transformar uma solução complexa em duas reais.

Passo 6

Calculamos u_1 e u_2 com os vetores p e q encontrados.
Primeiro
p\cos t-q\sin t= \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}\cos t- \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}\sin t =\begin{pmatrix}\cos t\\[2pt]-\cos t-\sin t\end{pmatrix}.
Portanto
u_1(t)=e^{4t}\begin{pmatrix}\cos t\\[2pt]-\cos t-\sin t\end{pmatrix}.
Em seguida
p\sin t+q\cos t= \begin{pmatrix}1\\[2pt]-1\end{pmatrix}\sin t+ \begin{pmatrix}0\\[2pt]1\end{pmatrix}\cos t =\begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t-\sin t\end{pmatrix}.
Portanto
u_2(t)=e^{4t}\begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t-\sin t\end{pmatrix}.]

Passo 7

Como u_1 e u_2 são soluções reais linearmente independentes, a solução geral do sistema é a combinação linear delas com constantes reais C_1 e C_2:
X(t)=C_1\,u_1(t)+C_2\,u_2(t) = e^{4t}\left[ C_1\begin{pmatrix}\cos t\\[2pt]-\cos t-\sin t\end{pmatrix} + C_2\begin{pmatrix}\sin t\\[2pt]\cos t-\sin t\end{pmatrix}\right].
Escrevendo componente a componente (isto é, expressando x(t) e y(t)):
x(t)=e^{4t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
y(t)=e^{4t}\big(C_1(-\cos t-\sin t)+C_2(\cos t-\sin t)\big).
Onde C_1 e C_2 são constantes reais determinadas por quaisquer condições iniciais que você tiver (não fornecidas aqui).]

Resposta

x(t)=e^{4t}\big(C_{1}\cos t + C_{2}\sin t\big)
y(t)=e^{4t}\big(C_{1}(-\cos t-\sin t)+C_{2}(\cos t-\sin t)\big)

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