2- (2,5 pontos) Mostre que
para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que
quando
.
Dados relevantes fornecidos: a função a transformar é com
complexo dado por
. A resposta desejada é a expressão fechada da transformada de Laplace e as condições de convergência (se houver).
Dados relevantes fornecidos: a função a transformar é
Passo 2
Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace de uma função
(essa é a ferramenta que vamos usar):
Aqui
é a variável real de tempo (
) e
é um número complexo em que a integral converge. Quando eu escrever
ou
significa, respectivamente, a diferença entre os complexos e a parte real de
.
Passo 3
Aplicamos a definição com
. Substituindo na integral:
Para simplificar, defina
. A integral fica
Agora precisamos calcular essa integral imprópria e verificar quando ela converge.
Passo 4
Calcule a integral como limite de integrais sobre
:
Tomando o limite
, obtemos
Esse limite só existe (ou seja,
) quando a parte real de
é positiva:
Explicando por que: para
complexo,
, então se
a magnitude vai a zero quando
, fazendo
. Portanto, sob essa condição,
Passo 5
Voltando à nossa notação original
, obtemos
com a condição de existência da transformada
Como
, isso equivale a
Uma pequena verificação alternativa (opcional, mas esclarecedora): escrevendo
e transformando as partes real e imaginária separadamente, chega-se ao mesmo resultado
para
.