2- (2,5 pontos) Mostre que \mathcal{L}\left\{e^{k t}\right\}=\frac{1}{s-k} para k=\boldsymbol{\alpha}+\boldsymbol{i} \boldsymbol{\beta}.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que
\mathcal{L}\{e^{k t}\}=\frac{1}{s-k}
quando k=\alpha+\mathrm{i}\beta.
Dados relevantes fornecidos: a função a transformar é e^{k t} com k complexo dado por k=\alpha+\mathrm{i}\beta. A resposta desejada é a expressão fechada da transformada de Laplace e as condições de convergência (se houver).

Passo 2

Começamos lembrando a definição da transformada de Laplace de uma função f(t) (essa é a ferramenta que vamos usar):
\mathcal{L}\{f(t)\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,f(t)\,dt.
Aqui t é a variável real de tempo ( t\ge 0 ) e s é um número complexo em que a integral converge. Quando eu escrever s-k ou \Re(s) significa, respectivamente, a diferença entre os complexos e a parte real de s.

Passo 3

Aplicamos a definição com f(t)=e^{k t}. Substituindo na integral:
\mathcal{L}\{e^{k t}\}(s)=\int_{0}^{\infty} e^{-s t}\,e^{k t}\,dt=\int_{0}^{\infty} e^{-(s-k)t}\,dt.
Para simplificar, defina a=s-k. A integral fica
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt.
Agora precisamos calcular essa integral imprópria e verificar quando ela converge.

Passo 4

Calcule a integral como limite de integrais sobre [0,R]:
\int_{0}^{R} e^{-a t}\,dt=\left[-\frac{1}{a}e^{-a t}\right]_{0}^{R}=\frac{1-e^{-a R}}{a}.
Tomando o limite R\to\infty, obtemos
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\lim_{R\to\infty}\frac{1-e^{-a R}}{a}.
Esse limite só existe (ou seja, e^{-a R}\to 0) quando a parte real de a é positiva:
\Re(a)>0.
Explicando por que: para a complexo, |e^{-a R}|=e^{-\Re(a)R}, então se \Re(a)>0 a magnitude vai a zero quando R\to\infty, fazendo e^{-a R}\to 0. Portanto, sob essa condição,
\int_{0}^{\infty} e^{-a t}\,dt=\frac{1}{a}.

Passo 5

Voltando à nossa notação original a=s-k, obtemos
\mathcal{L}\{e^{k t}\}(s)=\frac{1}{s-k},
com a condição de existência da transformada
\Re(s-k)>0.
Como k=\alpha+\mathrm{i}\beta, isso equivale a
\Re(s)>\alpha.
Uma pequena verificação alternativa (opcional, mas esclarecedora): escrevendo e^{k t}=e^{\alpha t}(\cos\beta t + \mathrm{i}\sin\beta t) e transformando as partes real e imaginária separadamente, chega-se ao mesmo resultado \dfrac{1}{s-(\alpha+\mathrm{i}\beta)} para \Re(s)>\alpha.

Resposta

\displaystyle \mathcal{L}\{e^{k t}\}=\frac{1}{s-k},\quad \text{para }\Re(s)>\Re(k)=\alpha

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