- (2 pontos) Sejam
, definidas por
e
.
a) Determine a fórmula da função composta
.
b) b) A função composta resultante é injetiva? É sobrejetiva? É bijetiva? Explique.
a) Determine a fórmula da função composta
b) b) A função composta resultante é injetiva? É sobrejetiva? É bijetiva? Explique.
Passo 1
O enunciado dá duas funções
com
Pede-se:
a) determinar a fórmula da função composta ;
b) dizer se a função composta é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva e explicar.
a) determinar a fórmula da função composta
b) dizer se a função composta é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva e explicar.
Passo 2
Vamos calcular a composição passo a passo. Primeiro calcule
:
Esse é o resultado da aplicação de
sobre
.
Passo 3
Agora aplicamos
ao resultado
. Usamos a propriedade de potências
. Então
Passo 4
Finalmente aplicamos
ao resultado anterior
. De novo usando
,
Portanto a fórmula da função composta é
, com domínio e contradomínio
.
Passo 5
Agora tratamos da injetividade. Lembrando a definição: uma função
é injetiva se, sempre que
, concluímos
.
Seja
. Suponha
com
. Então
Usamos a fatoração da diferença de potências:
O somatório entre parênteses é uma soma de
termos não-negativos; como
e não são simultaneamente zero, esse somatório é estritamente positivo sempre que
. Logo, para o produto acima ser zero precisamos ter
, ou seja
. Portanto
é injetiva.
(Outra maneira intuitiva: a função potência
é estritamente crescente em
, então não pode assumir o mesmo valor em dois argumentos distintos.)
Passo 6
Agora a sobrejetividade. Definição:
é sobrejetiva se para todo
existe
tal que
.
Para
isto significaria que todo
é uma potência 18-ésima de algum natural. Mas isso não é verdade: por exemplo
. Procuramos
com
. Testando valores pequenos,
e
. Não existe
com
. Portanto
não está na imagem de
, logo
não é sobrejetiva.
Passo 7
Conclusão sobre bijetividade: uma função é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Vimos que
é injetiva, mas não é sobrejetiva; portanto
não é bijetiva.