1. (2 pontos) Sejam f, g: N \rightarrow N, definidas por f(x)=x^{3} e g(x)=x^{2}.
    a) Determine a fórmula da função composta \mathrm{f} \circ \mathrm{g} \circ \mathrm{f}. =
    b) b) A função composta resultante é injetiva? É sobrejetiva? É bijetiva? Explique.

Passo 1

O enunciado dá duas funções f,g:\mathbb{N}\to\mathbb{N} com
f(x)=x^{3},\qquad g(x)=x^{2}.
Pede-se:
a) determinar a fórmula da função composta \;f\circ g\circ f;
b) dizer se a função composta é injetiva, sobrejetiva e/ou bijetiva e explicar.

Passo 2

Vamos calcular a composição passo a passo. Primeiro calcule f(x):
f(x)=x^{3}.
Esse é o resultado da aplicação de f sobre x.

Passo 3

Agora aplicamos g ao resultado f(x). Usamos a propriedade de potências \big(a^{b}\big)^{c}=a^{bc}. Então
g\big(f(x)\big)=g\big(x^{3}\big)=\big(x^{3}\big)^{2}=x^{3\cdot 2}=x^{6}.

Passo 4

Finalmente aplicamos f ao resultado anterior x^{6}. De novo usando \big(a^{b}\big)^{c}=a^{bc},
f\big(g(f(x))\big)=f\big(x^{6}\big)=\big(x^{6}\big)^{3}=x^{6\cdot 3}=x^{18}.
Portanto a fórmula da função composta é (f\circ g\circ f)(x)=x^{18}, com domínio e contradomínio \mathbb{N}.

Passo 5

Agora tratamos da injetividade. Lembrando a definição: uma função h:\mathbb{N}\to\mathbb{N} é injetiva se, sempre que h(a)=h(b), concluímos a=b.
Seja h(x)=(f\circ g\circ f)(x)=x^{18}. Suponha x^{18}=y^{18} com x,y\in\mathbb{N}. Então
x^{18}-y^{18}=0.
Usamos a fatoração da diferença de potências:
x^{18}-y^{18}=(x-y)\bigl(x^{17}+x^{16}y+\cdots+xy^{16}+y^{17}\bigr).
O somatório entre parênteses é uma soma de 18 termos não-negativos; como x,y\in\mathbb{N} e não são simultaneamente zero, esse somatório é estritamente positivo sempre que x\neq y. Logo, para o produto acima ser zero precisamos ter x-y=0, ou seja x=y. Portanto h é injetiva.
(Outra maneira intuitiva: a função potência x\mapsto x^{18} é estritamente crescente em \mathbb{N}, então não pode assumir o mesmo valor em dois argumentos distintos.)

Passo 6

Agora a sobrejetividade. Definição: h:\mathbb{N}\to\mathbb{N} é sobrejetiva se para todo n\in\mathbb{N} existe k\in\mathbb{N} tal que h(k)=n.
Para h(x)=x^{18} isto significaria que todo n\in\mathbb{N} é uma potência 18-ésima de algum natural. Mas isso não é verdade: por exemplo n=2. Procuramos k\in\mathbb{N} com k^{18}=2. Testando valores pequenos, 1^{18}=1 e 2^{18}=262144. Não existe k\in\mathbb{N} com k^{18}=2. Portanto 2 não está na imagem de h, logo h não é sobrejetiva.

Passo 7

Conclusão sobre bijetividade: uma função é bijetiva se for simultaneamente injetiva e sobrejetiva. Vimos que h(x)=x^{18} é injetiva, mas não é sobrejetiva; portanto h não é bijetiva.

Resposta

\text{a) }(f\circ g\circ f)(x)=x^{18}
\text{b) injetiva: sim; sobrejetiva: não; bijetiva: não}ãã

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