(2,5 pontos) Resolva a equação diferencial: y^{\prime}=x^{2} /\left(y+x^{3} y\right). Determine a solução cujo gráfico passa pelo ponto P=(0,3).

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial e um ponto por onde a solução deve passar:
  • Equação diferencial: y^{\prime}=\dfrac{x^{2}}{y+x^{3}y}.
  • Condição: a solução deve passar por P=(0,3), ou seja, y(0)=3.
O que se pede: encontrar a solução explícita y(x) que satisfaz a equação diferencial e passa por P.

Passo 2

Primeiro simplificamos a expressão do lado direito para ver que tipos de manipulações algébricas podemos fazer. Observe que o denominador tem um fator comum y:
y+x^{3}y = y\bigl(1+x^{3}\bigr).
Substituindo na equação original obtemos
y^{\prime}=\dfrac{x^{2}}{y\bigl(1+x^{3}\bigr)}.
Agora vamos colocar a equação numa forma em que todos os termos envolvendo y fiquem de um lado e todos os termos envolvendo x do outro, para poder integrar cada lado separadamente. Assumimos momentaneamente y\neq0 e 1+x^{3}\neq0 para não dividir por zero; o ponto dado x=0 satisfaz 1+0^3=1\neq0 e y(0)=3\neq0, então a manipulação é válida pelo menos numa vizinhança de x=0.
Reescrevendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e separando as variáveis:
\frac{dy}{dx}=\dfrac{x^{2}}{y\bigl(1+x^{3}\bigr)} \quad\Longrightarrow\quad y\,dy=\dfrac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.

Passo 3

Agora integramos ambos os lados. Vou explicar cada integral com calma.
Integramos o lado esquerdo:
\int y\,dy=\frac{y^{2}}{2}+C_{1},
porque a regra básica de potência diz que \int y^{n}\,dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1} para n\neq-1; aqui n=1.
Para o lado direito precisamos calcular
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx.
Uma técnica simples é usar a substituição t=x^{3}, que torna explícito o diferencial: dt=3x^{2}\,dx, ou seja x^{2}\,dx=\dfrac{dt}{3}. Substituindo:
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx = \int \frac{1}{1+t}\cdot \frac{dt}{3} = \frac{1}{3}\int \frac{dt}{1+t} = \frac{1}{3}\ln\bigl|1+t\bigr|+C_{2}.
Voltando à variável x (pois t=x^{3}):
\int \frac{x^{2}}{1+x^{3}}\,dx=\frac{1}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|+C_{2}.
Juntando os dois lados (podemos reunir as constantes C_{1} e C_{2} numa única constante C):
\frac{y^{2}}{2}=\frac{1}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|+C.

Passo 4

Agora usamos a condição inicial y(0)=3 para determinar a constante C. Substituindo x=0 e y=3:
\frac{3^{2}}{2}=\frac{1}{3}\ln\bigl|1+0^{3}\bigr|+C \quad\Longrightarrow\quad \frac{9}{2}=\frac{1}{3}\ln(1)+C.
Como \ln(1)=0, segue C=\dfrac{9}{2}.
Substituindo C na expressão geral:
\frac{y^{2}}{2}=\frac{1}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|+\frac{9}{2}.
Multiplicando por 2 para simplificar:
y^{2}=\frac{2}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|+9.

Passo 5

Para obter y explicitamente tiramos raiz quadrada. Há duas raízes possíveis, positiva e negativa:
y(x)=\pm\sqrt{\,9+\frac{2}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|\,}.
Usamos a condição inicial y(0)=3 para escolher o sinal: em x=0 o valor deve ser 3>0, então escolhemos o sinal positivo. Assim a solução que passa por P é
y(x)=\sqrt{\,9+\frac{2}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|\,}.
Comentário sobre domínio: a expressão dentro da raiz deve ser positiva para y ser real, isto é é necessário
9+\frac{2}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|>0.
No ponto x=0 isso vale (pois \ln1=0), e há um intervalo em torno de 0 onde a solução é válida. Se for necessário o domínio máximo, deve-se resolver essa desigualdade explicitamente.

Resposta

y(x)=\sqrt{\,9+\dfrac{2}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|\,}

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