Condição: a solução deve passar por P=(0,3), ou seja, y(0)=3.
O que se pede: encontrar a solução explícita y(x) que satisfaz a equação diferencial e passa por P.
Passo 2
Primeiro simplificamos a expressão do lado direito para ver que tipos de manipulações algébricas podemos fazer. Observe que o denominador tem um fator comum y:
y+x^{3}y = y\bigl(1+x^{3}\bigr).
Substituindo na equação original obtemos
y^{\prime}=\dfrac{x^{2}}{y\bigl(1+x^{3}\bigr)}.
Agora vamos colocar a equação numa forma em que todos os termos envolvendo y fiquem de um lado e todos os termos envolvendo x do outro, para poder integrar cada lado separadamente. Assumimos momentaneamente y\neq0 e 1+x^{3}\neq0 para não dividir por zero; o ponto dado x=0 satisfaz 1+0^3=1\neq0 e y(0)=3\neq0, então a manipulação é válida pelo menos numa vizinhança de x=0.
Reescrevendo y^{\prime}=\dfrac{dy}{dx} e separando as variáveis:
Usamos a condição inicial y(0)=3 para escolher o sinal: em x=0 o valor deve ser 3>0, então escolhemos o sinal positivo. Assim a solução que passa por P é
Comentário sobre domínio: a expressão dentro da raiz deve ser positiva para y ser real, isto é é necessário
9+\frac{2}{3}\ln\bigl|1+x^{3}\bigr|>0.
No ponto x=0 isso vale (pois \ln1=0), e há um intervalo em torno de 0 onde a solução é válida. Se for necessário o domínio máximo, deve-se resolver essa desigualdade explicitamente.