1- (2,0 pontos) (Energia) Considere um vagão
de massa 2M, em repouso na posição A, a uma altura Hi. Sendo o mesmo liberado na trajetória
, onde em
há um engate com o vagão de Massa M. Devido a colisão os dois vagões se grudam (colisão inelástica) e são capazes de deslocar até a posição
, até parar. Determine a (a) (1,0 pt) altura H, da posição Ce(b) (1,0 pt) da velocidade dos vagões juntos, em
função de Hi , considerando qua não houve perda de energia mecânica na colisão dos vagões.
Considere o trajeto
sem atrito e despreze a força de arrasto dos vagões no ar.
de massa 2M, em repouso na posição A, a uma altura Hi. Sendo o mesmo liberado na trajetória
função de Hi , considerando qua não houve perda de energia mecânica na colisão dos vagões.
Considere o trajeto
Passo 1
Beleza, vamos lá. A questão é de conservação de energia mecânica (Eₘ = Eₚ + E_c).
– Um vagão de massa 2M parte do repouso em A, altura Hᵢ.
– Chega em B com velocidade v, engata um vagão de massa M (colisão “inelástica” mas sem perda de energia mecânica!).
– Os dois juntos (massa total 3M) sobem até C e param numa altura H.
O que precisamos usar:
– Um vagão de massa 2M parte do repouso em A, altura Hᵢ.
– Chega em B com velocidade v, engata um vagão de massa M (colisão “inelástica” mas sem perda de energia mecânica!).
– Os dois juntos (massa total 3M) sobem até C e param numa altura H.
O que precisamos usar:
- Conservação de energia de A até B (transformação de energia potencial em cinética).
- Conservação de energia durante a colisão (foi dito que não há perda).
- Conservação de energia de B a C (cinética vira potencial).
Passo 2
Primeiro, velocidade em B, antes da colisão.
De A (v=0) até B:
Eₚ(A) = E_c(B)
(2M)·g·Hᵢ = ½·(2M)·v²
Cancelando 2M:
g·Hᵢ = ½·v² ⟹ v² = 2·g·Hᵢ
Logo
v = √(2 g Hᵢ).
De A (v=0) até B:
Eₚ(A) = E_c(B)
(2M)·g·Hᵢ = ½·(2M)·v²
Cancelando 2M:
g·Hᵢ = ½·v² ⟹ v² = 2·g·Hᵢ
Logo
v = √(2 g Hᵢ).
Passo 3
Agora a colisão em B, que une os vagões sem perda de energia mecânica.
Antes da colisão: só o vagão 2M em movimento com energia
E_c₁ = ½·(2M)·v² = (2M)(g Hᵢ).
Depois da colisão: massa total 3M, energia cinética E_c₂ deve ser igual a E_c₁, pois “não há perda”
½·(3M)·v′² = 2M·g Hᵢ
⟹ v′² = (2·2M·g Hᵢ)/(3M) = (4/3)·g Hᵢ
⟹ v′ = √((4/3) g Hᵢ) = (2/√3)·√(g Hᵢ).
Antes da colisão: só o vagão 2M em movimento com energia
E_c₁ = ½·(2M)·v² = (2M)(g Hᵢ).
Depois da colisão: massa total 3M, energia cinética E_c₂ deve ser igual a E_c₁, pois “não há perda”
½·(3M)·v′² = 2M·g Hᵢ
⟹ v′² = (2·2M·g Hᵢ)/(3M) = (4/3)·g Hᵢ
⟹ v′ = √((4/3) g Hᵢ) = (2/√3)·√(g Hᵢ).
Passo 4
Por fim, de B (velocidade v′) até C (v=0), toda a energia cinética vira potencial:
½·(3M)·v′² = (3M)·g·H
Substituindo v′² = (4/3) g Hᵢ:
½·3M·[(4/3) g Hᵢ] = 3M·g·H
⟹ (½·4)·M·g Hᵢ = 3M·g·H
⟹ 2·M·g Hᵢ = 3M·g·H
⟹ H = (2/3) Hᵢ.
½·(3M)·v′² = (3M)·g·H
Substituindo v′² = (4/3) g Hᵢ:
½·3M·[(4/3) g Hᵢ] = 3M·g·H
⟹ (½·4)·M·g Hᵢ = 3M·g·H
⟹ 2·M·g Hᵢ = 3M·g·H
⟹ H = (2/3) Hᵢ.
Resposta
(a) H = (2/3) Hᵢ
(b) velocidade dos vagões juntos logo após o engate:
v′ = (2/√3)·√(g Hᵢ)
(b) velocidade dos vagões juntos logo após o engate:
v′ = (2/√3)·√(g Hᵢ)