Calcule as derivadas das seguintes funções:
.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede que calculemos as derivadas (isto é, a derivada em relação a
).
Observação de notação: aqui vou usar a notação trigonométrica padrão em LaTeX e escrever como
. As informações relevantes são:
Observação de notação: aqui vou usar a notação trigonométrica padrão em LaTeX e escrever
Passo 2
Conceito que vamos usar (explicado devagar): regra da cadeia para exponencial.
Se tivermos uma função composta , onde
é uma função diferenciável, então a derivada de
é dada por
Se tivermos uma função composta
Isto vem da regra da cadeia: derivamos a função externa
(que tem derivada
em relação ao argumento) e multiplicamos pela derivada do argumento interno
. Exemplo simples: se
, então
.
Passo 3
Identificamos o argumento interno
da exponencial:
Para aplicar a regra da cadeia precisamos calcular
. Usamos a regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então
Agora calcule cada termo separadamente:
-
. (Porque a reta identidade tem declive .) - Para
aplicamos novamente a regra da cadeia: seja . Então e
Aqui
. Portanto
Passo 4
Somando os termos obtemos
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 para a derivada de
:
Substituindo
e
, temos
Passo 5
Interpretação final e checagem rápida: a derivada mantém o fator exponencial igual à função original (pois
produz
de novo) e multiplica pelo derivativo do que está no expoente. Por exemplo, avaliando em
para conferência:
o que faz sentido numericamente.