Calcule as derivadas das seguintes funções:
f(x)=e^{(x+\operatorname{sen}(2 x))}.

Passo 1

O enunciado dá a função \displaystyle f(x)=e^{(x+\operatorname{sen}(2 x))} e pede que calculemos as derivadas (isto é, a derivada em relação a x).
Observação de notação: aqui vou usar a notação trigonométrica padrão em LaTeX e escrever \operatorname{sen}(2x) como \sin(2x). As informações relevantes são:
\text{dada: } f(x)=e^{\bigl(x+\sin(2x)\bigr)}.

Passo 2

Conceito que vamos usar (explicado devagar): regra da cadeia para exponencial.
Se tivermos uma função composta \displaystyle F(x)=e^{u(x)}, onde u(x) é uma função diferenciável, então a derivada de F é dada por
\frac{d}{dx}\bigl(e^{u(x)}\bigr)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Isto vem da regra da cadeia: derivamos a função externa e^{(\,\cdot\,)} (que tem derivada e^{(\,\cdot\,)} em relação ao argumento) e multiplicamos pela derivada do argumento interno u(x). Exemplo simples: se u(x)=3x, então \frac{d}{dx}e^{3x}=e^{3x}\cdot 3.

Passo 3

Identificamos o argumento interno u(x) da exponencial:
u(x)=x+\sin(2x).
Para aplicar a regra da cadeia precisamos calcular u'(x). Usamos a regra da soma: a derivada de uma soma é a soma das derivadas. Então
u'(x)=\frac{d}{dx}(x)+\frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr).
Agora calcule cada termo separadamente:
  • \displaystyle \frac{d}{dx}(x)=1. (Porque a reta identidade tem declive 1.)
  • Para \displaystyle \frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr) aplicamos novamente a regra da cadeia: seja v(x)=2x. Então \sin(2x)=\sin(v(x)) e
\frac{d}{dx}\sin(v(x))=\cos(v(x))\cdot v'(x).
Aqui v'(x)=\frac{d}{dx}(2x)=2. Portanto
\frac{d}{dx}\bigl(\sin(2x)\bigr)=\cos(2x)\cdot 2 = 2\cos(2x).

Passo 4

Somando os termos obtemos
u'(x)=1+2\cos(2x).
Agora aplicamos a fórmula da Passo 2 para a derivada de f:
f'(x)=e^{u(x)}\cdot u'(x).
Substituindo u(x)=x+\sin(2x) e u'(x)=1+2\cos(2x), temos
f'(x)=e^{\,x+\sin(2x)}\bigl(1+2\cos(2x)\bigr).

Passo 5

Interpretação final e checagem rápida: a derivada mantém o fator exponencial igual à função original (pois \frac{d}{dx}e^{u(x)} produz e^{u(x)} de novo) e multiplica pelo derivativo do que está no expoente. Por exemplo, avaliando em x=0 para conferência:
f(0)=e^{0+\sin(0)}=e^0=1,\qquad f'(0)=e^{0+\sin(0)}(1+2\cos(0))=1\cdot(1+2\cdot1)=3,
o que faz sentido numericamente.

Resposta

f'(x)=e^{\,x+\sin(2x)}\bigl(1+2\cos(2x)\bigr).

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