(2,5 pontos) Esboce e calcule a área da regiāo limitada pelas curvas
e
.
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: esboçar e calcular a área da região limitada pelas duas curvas dadas. As informações fornecidas são:
- A primeira curva é
. - A segunda curva é
. - É preciso determinar a região comum (fechada) entre essas duas curvas, desenhá-la (esboço) e calcular a área dessa região.
Passo 2
Encontrar os pontos de interseção (estes serão os limites da integração). Igualamos as duas funções e resolvemos para
:
Colocando todos os termos no mesmo lado:
Agora resolvemos a equação quadrática. Calcule o discriminante
:
As raízes são
Portanto
Passo 3
Determinar qual curva está acima (isso define o integrando como diferença “superior - inferior”). Escolho um ponto teste entre
e
, por exemplo
.
Calcule as duas alturas em :
Calcule as duas alturas em
Como
, a curva
está acima de
no intervalo entre as interseções. Logo a área pedida é
Passo 4
Simplificar o integrando antes de integrar:
Portanto a integral a calcular é
Passo 5
Integrar termo a termo usando a regra do poder para integrais:
para
, e integrais de constantes multiplicam por
.
Um antiderivado para é
Um antiderivado para
Verificação rápida: derivando
retorna
.
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
Calcule :
Calcule
Simplificando a última parte
. Então
Calcule
:
Agora a área:
Colocando no mesmo denominador
:
logo
Passo 7
Esboço (instruções para desenhar à mão):
- Desenhar a parábola
: concavidade para cima, vértice em . - Desenhar a parábola
: escrever como , é concavidade para baixo, vértice em com altura . - Marcar os pontos de interseção encontrados: em
o ponto é e em o ponto é . - A região limitada é aquela entre essas duas curvas, para
, com a parábola de concavidade para baixo por cima e a de concavidade para cima por baixo.