(2,5 pontos) Esboce e calcule a área da regiāo limitada pelas curvas y=1+x^{2} e y=4+x-x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: esboçar e calcular a área da região limitada pelas duas curvas dadas. As informações fornecidas são:
  • A primeira curva é y=1+x^{2}.
  • A segunda curva é y=4+x-x^{2}.
  • É preciso determinar a região comum (fechada) entre essas duas curvas, desenhá-la (esboço) e calcular a área dessa região.

Passo 2

Encontrar os pontos de interseção (estes serão os limites da integração). Igualamos as duas funções e resolvemos para x:
1+x^{2}=4+x-x^{2}.
Colocando todos os termos no mesmo lado:
2x^{2}-x-3=0.
Agora resolvemos a equação quadrática. Calcule o discriminante \Delta:
\Delta = (-1)^{2}-4\cdot 2\cdot(-3)=1+24=25.
As raízes são
x=\frac{1\pm\sqrt{25}}{4}=\frac{1\pm5}{4}.
Portanto
x_{1}=\frac{1-5}{4}=-1,\qquad x_{2}=\frac{1+5}{4}=\frac{3}{2}.

Passo 3

Determinar qual curva está acima (isso define o integrando como diferença “superior - inferior”). Escolho um ponto teste entre -1 e \tfrac{3}{2}, por exemplo x=0.
Calcule as duas alturas em x=0:
y_{1}=1+0^{2}=1,\qquad y_{2}=4+0-0^{2}=4.
Como 4>1, a curva y=4+x-x^{2} está acima de y=1+x^{2} no intervalo entre as interseções. Logo a área pedida é
\text{Área}=\int_{-1}^{3/2}\bigl( (4+x-x^{2})-(1+x^{2})\bigr)\,dx.Á

Passo 4

Simplificar o integrando antes de integrar:
(4+x-x^{2})-(1+x^{2})=3+x-2x^{2}.
Portanto a integral a calcular é
\text{Área}=\int_{-1}^{3/2}\bigl(3+x-2x^{2}\bigr)\,dx.Á

Passo 5

Integrar termo a termo usando a regra do poder para integrais: \displaystyle\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1} para n\neq -1, e integrais de constantes multiplicam por x.
Um antiderivado para 3+x-2x^{2} é
F(x)=3x+\frac{x^{2}}{2}-\frac{2}{3}x^{3}.
Verificação rápida: derivando F(x) retorna 3+x-2x^{2}.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites e subtrair:
Calcule F\!\left(\tfrac{3}{2}\right):
F\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=3\cdot\frac{3}{2}+\frac{\left(\tfrac{3}{2}\right)^{2}}{2}-\frac{2}{3}\left(\tfrac{3}{2}\right)^{3} =\frac{9}{2}+\frac{9}{8}-\frac{2}{3}\cdot\frac{27}{8}.
Simplificando a última parte \frac{2}{3}\cdot\frac{27}{8}=\frac{54}{24}=\frac{9}{4}. Então
F\!\left(\tfrac{3}{2}\right)=\frac{9}{2}+\frac{9}{8}-\frac{9}{4}=\frac{27}{8}.
Calcule F(-1):
F(-1)=3(-1)+\frac{(-1)^{2}}{2}-\frac{2}{3}(-1)^{3}=-3+\frac{1}{2}+\frac{2}{3}=-\frac{11}{6}.
Agora a área:
\text{Área}=F\!\left(\tfrac{3}{2}\right)-F(-1)=\frac{27}{8}-\Bigl(-\frac{11}{6}\Bigr)=\frac{27}{8}+\frac{11}{6}.Á
Colocando no mesmo denominador 24:
\frac{27}{8}=\frac{81}{24},\qquad \frac{11}{6}=\frac{44}{24},
logo
\text{Área}=\frac{81}{24}+\frac{44}{24}=\frac{125}{24}.Á

Passo 7

Esboço (instruções para desenhar à mão):
  • Desenhar a parábola y=1+x^{2}: concavidade para cima, vértice em (0,1).
  • Desenhar a parábola y=4+x-x^{2}: escrever como -x^{2}+x+4, é concavidade para baixo, vértice em x=\tfrac{1}{2} com altura y=4{,}25.
  • Marcar os pontos de interseção encontrados: em x=-1 o ponto é (-1,2) e em x=\tfrac{3}{2} o ponto é \bigl(\tfrac{3}{2},\tfrac{13}{4}\bigr).
  • A região limitada é aquela entre essas duas curvas, para -1\le x\le\tfrac{3}{2}, com a parábola de concavidade para baixo por cima e a de concavidade para cima por baixo.

Resposta

\dfrac{125}{24}

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