Terceira Questão (2,5pts): Considere o campo vetorial F dado por

\vec{F}(x, y, z)=\langle z-2 y, 2 y-x, x+z\rangle
(a) ( \mathbf{1 , 0} ponto) Determine se \vec{F} é ou não conservativo em \mathbb{R}^{3}.
(b) (1,5 ponto) Calcule a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta ligando o ponto (1,0,2) ao ponto (+1,3,5).

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial
\vec{F}(x,y,z)=\langle z-2y,\;2y-x,\;x+z\rangle
e pede duas coisas:
  • (a) Determinar se \vec{F} é conservativo em \mathbb{R}^{3}.
  • (b) Calcular a integral de linha de \vec{F} ao longo do segmento de reta que liga os pontos (1,0,2) e (1,3,5).
Informações relevantes dadas:
  • As componentes de \vec{F} são \;F_1(x,y,z)=z-2y,\;F_2(x,y,z)=2y-x,\;F_3(x,y,z)=x+z.
  • O caminho é o segmento de reta entre (1,0,2) e (1,3,5).

Passo 2

Explicando como testar se um campo em \mathbb{R}^3 é conservativo (passo-a-passo didático).
  • Um campo vetorial \vec{F}=\langle F_1,F_2,F_3\rangle é conservativo num domínio simplesmente conectado se e somente se o rotor (curl) é o vetor nulo:
\nabla\times\vec{F}=\vec{0}.
  • O rotor é dado por
\nabla\times\vec{F}=\left\langle \frac{\partial F_3}{\partial y}-\frac{\partial F_2}{\partial z},\; \frac{\partial F_1}{\partial z}-\frac{\partial F_3}{\partial x},\; \frac{\partial F_2}{\partial x}-\frac{\partial F_1}{\partial y} \right\rangle.
  • Raciocínio: em \mathbb{R}^3 (que é simplesmente conectado), se o rotor é zero, existe uma função potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F}; caso contrário, \vec{F} não é conservativo. Vou calcular o rotor de \vec{F}.

Passo 3

Calcular o rotor de \vec{F} substituindo as componentes.
As derivadas parciais necessárias são:
\frac{\partial F_3}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(x+z)=0, \qquad \frac{\partial F_2}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(2y-x)=0,
\frac{\partial F_1}{\partial z}=\frac{\partial}{\partial z}(z-2y)=1, \qquad \frac{\partial F_3}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(x+z)=1,
\frac{\partial F_2}{\partial x}=\frac{\partial}{\partial x}(2y-x)=-1, \qquad \frac{\partial F_1}{\partial y}=\frac{\partial}{\partial y}(z-2y)=-2.
Agora montar o rotor:
\nabla\times\vec{F}=\left\langle 0-0,\;1-1,\;(-1)-(-2) \right\rangle=\langle 0,0,1\rangle.

Passo 4

Interpretação e conclusão para (a).
  • Obtivemos \nabla\times\vec{F}=\langle 0,0,1\rangle, que NÃO é o vetor nulo.
  • Portanto, \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{3} (em qualquer domínio que contenha pontos onde o rotor é não nulo). Ou seja, não existe função potencial \varphi com \nabla\varphi=\vec{F} definida em todo \mathbb{R}^3.

Passo 5

Preparação para calcular a integral de linha (parte (b)): parametrização do segmento.
  • O segmento entre P_0=(1,0,2) e P_1=(1,3,5) pode ser parametrizado por
\vec{r}(t)=P_0+t(P_1-P_0),\qquad 0\le t\le1.
  • Calcular P_1-P_0=(0,3,3). Logo
\vec{r}(t)=(1,\;3t,\;2+3t),\qquad \vec{r}'(t)=(0,\;3,\;3).
  • Fórmula da integral de linha (orientada de P_0 para P_1):
\int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\int_{0}^{1}\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)\,dt.

Passo 6

Avaliar \vec{F} ao longo da parametrização \vec{r}(t).
  • Substituir x=1,\;y=3t,\;z=2+3t nas componentes de \vec{F}:
F_1(\vec{r}(t))=z-2y=(2+3t)-2(3t)=2+3t-6t=2-3t,
F_2(\vec{r}(t))=2y-x=2(3t)-1=6t-1,
F_3(\vec{r}(t))=x+z=1+(2+3t)=3+3t.
  • Assim
\vec{F}(\vec{r}(t))=\langle 2-3t,\;6t-1,\;3+3t\rangle.

Passo 7

Calcular o produto escalar \vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t) e simplificar.
  • Temos \vec{r}'(t)=(0,3,3). Então
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t)= (2-3t)\cdot 0 + (6t-1)\cdot 3 + (3+3t)\cdot 3.
  • Desenvolvendo:
(6t-1)\cdot 3 = 18t-3,\qquad (3+3t)\cdot 3 = 9+9t.
  • Somando:
\vec{F}(\vec{r}(t))\cdot\vec{r}'(t) = (18t-3)+(9+9t)=27t+6.

Passo 8

Integrar o integrando obtido de t=0 a t=1.
  • Calcular a integral
\int_{0}^{1}(27t+6)\,dt = \left[\frac{27}{2}t^{2}+6t\right]_{0}^{1}=\frac{27}{2}+6=\frac{27+12}{2}=\frac{39}{2}.
  • Portanto a integral de linha pedida é \dfrac{39}{2}.

Resposta

(a) \vec{F} não é conservativo em \mathbb{R}^{3}.\n(b) \displaystyle \int_{C}\vec{F}\cdot d\vec{r}=\dfrac{39}{2}.

Exercícios relacionados