Terceira Questão (2,5pts): Considere o campo vetorial
dado por
(a) (
ponto) Determine se
é ou não conservativo em
.
(b) (1,5 ponto) Calcule a integral de linha de
ao longo do segmento de reta ligando o ponto
ao ponto
.
(b) (1,5 ponto) Calcule a integral de linha de
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
e pede duas coisas:
- (a) Determinar se
é conservativo em . - (b) Calcular a integral de linha de
ao longo do segmento de reta que liga os pontos e .
Informações relevantes dadas:
- As componentes de
são - O caminho é o segmento de reta entre
e .
Passo 2
Explicando como testar se um campo em
é conservativo (passo-a-passo didático).
- Um campo vetorial
é conservativo num domínio simplesmente conectado se e somente se o rotor (curl) é o vetor nulo:
- O rotor é dado por
- Raciocínio: em
(que é simplesmente conectado), se o rotor é zero, existe uma função potencial com ; caso contrário, não é conservativo. Vou calcular o rotor de .
Passo 3
Calcular o rotor de
substituindo as componentes.
As derivadas parciais necessárias são:
As derivadas parciais necessárias são:
Agora montar o rotor:
Passo 4
Interpretação e conclusão para (a).
- Obtivemos
, que NÃO é o vetor nulo. - Portanto,
não é conservativo em (em qualquer domínio que contenha pontos onde o rotor é não nulo). Ou seja, não existe função potencial com definida em todo .
Passo 5
Preparação para calcular a integral de linha (parte (b)): parametrização do segmento.
- O segmento entre
e pode ser parametrizado por
- Calcular
. Logo
- Fórmula da integral de linha (orientada de
para ):
Passo 6
Avaliar
ao longo da parametrização
.
- Substituir
nas componentes de :
- Assim
Passo 7
Calcular o produto escalar
e simplificar.
- Temos
. Então
- Desenvolvendo:
- Somando:
Passo 8
Integrar o integrando obtido de
a
.
- Calcular a integral
- Portanto a integral de linha pedida é
.
Resposta
(a)
não é conservativo em
.\n(b)
.