(2,5 pontos)
Se
for contínua em
, mostre que
Se
Passo 1
O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma identidade a ser demonstrada.
- Informação dada:
é contínua em . - O que devemos mostrar:
Passo 2
Primeira ideia simples e poderosa: considerar a função
definida por
. Isso é só escrever o quadrado de
. Vamos estudar
porque o integrando
parece aparecer naturalmente como derivada de
.
Passo 3
Calcular a derivada de
. Como
, usa-se a regra do produto (produto de duas funções iguais). A regra do produto diz que, se
e
são diferenciáveis, então
. Aplicando com
e
obtemos
Aqui expliquei o que cada termo significa:
é a derivada de
em
, isto é,
.
Passo 4
Verificar regularidade para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Como
é contínua em
e
é contínua (porque uma função diferenciável é contínua), o produto
é contínuo em
. Logo
é contínua em
. Isso garante que
é integrável e que podemos usar o TFC na forma: se
é contínua em
então
Passo 5
Aplicar o TFC ao
que definimos. Substituindo
na igualdade do TFC, obtemos
Mas
e
. Portanto
Pronto — é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.
Passo 6
Comentário final e intuição curta (útil na prova): a igualdade vem do fato simples de cálculo que a derivada de
é
. Integrar a derivada recupera a diferença de valores da função no extremo do intervalo. Essa ideia é muito prática — quando vir um integrando do tipo
pense imediatamente em
.
Passo 7
Exemplo rápido para fixar (se quiser checar): tome
em
. Então
, o lado esquerdo dá
O lado direito dá
. Confere.