(2,5 pontos)
Se f^{\prime} for contínua em [a, b], mostre que
2 \int_{a}^{b} f(x) f^{\prime}(x) d x=[f(b)]^{2}-[f(a)]^{2}

Passo 1

O enunciado nos dá a seguinte informação e pede uma identidade a ser demonstrada.
  • Informação dada: f^{\prime} é contínua em [a,b].
  • O que devemos mostrar:
2 \int_{a}^{b} f(x) f^{\prime}(x)\, d x=[f(b)]^{2}-[f(a)]^{2}.

Passo 2

Primeira ideia simples e poderosa: considerar a função g definida por g(x)=[f(x)]^{2}. Isso é só escrever o quadrado de f. Vamos estudar g porque o integrando f(x)f^{\prime}(x) parece aparecer naturalmente como derivada de f^2.

Passo 3

Calcular a derivada de g. Como g(x)=f(x)\cdot f(x), usa-se a regra do produto (produto de duas funções iguais). A regra do produto diz que, se u e v são diferenciáveis, então (uv)'=u'v+uv'. Aplicando com u=f e v=f obtemos
g'(x)=\big(f(x)\big)'\,f(x)+f(x)\,\big(f(x)\big)'=f'(x)f(x)+f(x)f'(x)=2\,f(x)f'(x).
Aqui expliquei o que cada termo significa: \big(f(x)\big)' é a derivada de f em x, isto é, f'(x).

Passo 4

Verificar regularidade para aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo (TFC). Como f' é contínua em [a,b] e f é contínua (porque uma função diferenciável é contínua), o produto f\cdot f' é contínuo em [a,b]. Logo g'(x)=2f(x)f'(x) é contínua em [a,b]. Isso garante que g' é integrável e que podemos usar o TFC na forma: se g' é contínua em [a,b] então
\int_{a}^{b} g'(x)\,dx = g(b)-g(a).

Passo 5

Aplicar o TFC ao g que definimos. Substituindo g'(x)=2f(x)f'(x) na igualdade do TFC, obtemos
\int_{a}^{b} 2\,f(x)f'(x)\,dx = g(b)-g(a).
Mas g(b)=[f(b)]^{2} e g(a)=[f(a)]^{2}. Portanto
\int_{a}^{b} 2\,f(x)f'(x)\,dx = [f(b)]^{2}-[f(a)]^{2}.
Pronto — é exatamente a identidade que queríamos demonstrar.

Passo 6

Comentário final e intuição curta (útil na prova): a igualdade vem do fato simples de cálculo que a derivada de f^2 é 2f f'. Integrar a derivada recupera a diferença de valores da função no extremo do intervalo. Essa ideia é muito prática — quando vir um integrando do tipo f f' pense imediatamente em (f^2)'.

Passo 7

Exemplo rápido para fixar (se quiser checar): tome f(x)=x^2 em [0,1]. Então f'(x)=2x, o lado esquerdo dá
2\int_{0}^{1} f(x)f'(x)\,dx = 2\int_{0}^{1} x^2\cdot 2x\,dx = 4\int_{0}^{1} x^3\,dx = 4\cdot\frac{1}{4}=1.
O lado direito dá [f(1)]^2-[f(0)]^2 = (1^2)^2-(0^2)^2 = 1-0=1. Confere.

Resposta

2 \int_{a}^{b} f(x) f^{\prime}(x)\, d x=[f(b)]^{2}-[f(a)]^{2}

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