3. (6 pontos)
Esboce a região
delimitada por
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região
em torno do eixo
, utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.
Passo 1
O enunciado dá as curvas
e pede: esboçar a região
delimitada por essas curvas e determinar apenas as integrais que representam o volume do sólido obtido pela rotação de
em torno do eixo
, usando (a) o Método dos Discos (ou Anéis) e (b) o Método das Cascas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
- As equações das fronteiras da região
são , e . - O eixo de rotação é o eixo
. - Só é pedido escrever as integrais que representam o volume (não é pedido calcular o valor numérico).
Passo 2
Vamos identificar claramente a região
antes de montar as integrais.
- As interseções entre
e ocorrem resolvendo , o que dá . Como a curva é uma das fronteiras, a parte relevante fica para , portanto o intervalo em para a região é de até . - Para cada
, a região está entre a curva inferior e a curva superior . - Em coordenadas
, a região ocupa desde (no ponto ) até . Para um dado , a abscissa direita da região é e a abscissa esquerda é .
Com isso temos os limites de integração que serão usados em cada método.
Passo 3
Método dos Discos (ou Anéis): ideia e fórmula.
- Intuição: ao girar a fatia vertical (de espessura
) em torno do eixo obtemos um disco/anel cuja área de seção transversal perpendicular ao eixo é a diferença entre a área do disco externo e a área do furo interno (se houver). - Fórmula geral (para rotação em torno do eixo
, integrando em ):
onde
é o raio externo (distância do eixo
até a curva superior) e
é o raio interno (distância do eixo
até a curva inferior).
Passo 4
Aplicando o Método dos Discos ao nosso caso:
- O eixo de rotação é o eixo
. Para um fixo em : - raio externo
= distância do eixo até , isto é . - raio interno
= distância do eixo até , isto é .
- raio externo
- Substituindo na fórmula:
Passo 5
Método das Cascas: ideia e fórmula.
- Intuição: escolhemos tiras horizontais (espessura
); cada tira ao girar em torno do eixo gera uma casca cilíndrica de raio igual à altura e altura igual ao comprimento da tira em . - Fórmula geral (rotação em torno do eixo
, integrando em ):
onde
é a distância do eixo de rotação até a tira (aqui é
) e
é o comprimento da tira paralelo ao eixo de rotação (aqui é a extensão em
).
Passo 6
Aplicando o Método das Cascas ao nosso caso:
- Para uma altura fixa
: - raio da casca = distância da tira ao eixo
= . - altura da casca = extensão em
da região a essa altura = (pois pegamos a partir de ).
- raio da casca = distância da tira ao eixo
- Elemento de volume da casca:
- Integrando
de a :