3. (6 pontos)

Esboce a região R delimitada por
y=x^{2}, \quad y=9 \quad \text { e } \quad x=0
e determine apenas as integrais que representam o volume do sólido gerado pela rotação da região R em torno do eixo x, utilizando o Método dos Discos e o Método das Cascas.

Passo 1

O enunciado dá as curvas
y = x^{2},\qquad y = 9,\qquad x = 0
e pede: esboçar a região R delimitada por essas curvas e determinar apenas as integrais que representam o volume do sólido obtido pela rotação de R em torno do eixo x, usando (a) o Método dos Discos (ou Anéis) e (b) o Método das Cascas.
Informações relevantes fornecidas pelo enunciado:
  • As equações das fronteiras da região R são y=x^{2}, y=9 e x=0.
  • O eixo de rotação é o eixo x.
  • Só é pedido escrever as integrais que representam o volume (não é pedido calcular o valor numérico).

Passo 2

Vamos identificar claramente a região R antes de montar as integrais.
  • As interseções entre y=x^{2} e y=9 ocorrem resolvendo x^{2}=9, o que dá x=\pm 3. Como a curva x=0 é uma das fronteiras, a parte relevante fica para x\ge 0, portanto o intervalo em x para a região é de x=0 até x=3.
  • Para cada x\in[0,3], a região R está entre a curva inferior y=x^{2} e a curva superior y=9.
  • Em coordenadas y, a região ocupa y desde y=0 (no ponto x=0) até y=9. Para um dado y\in[0,9], a abscissa direita da região é x=\sqrt{y} e a abscissa esquerda é x=0.
Com isso temos os limites de integração que serão usados em cada método.

Passo 3

Método dos Discos (ou Anéis): ideia e fórmula.
  • Intuição: ao girar a fatia vertical (de espessura \mathrm{d}x) em torno do eixo x obtemos um disco/anel cuja área de seção transversal perpendicular ao eixo x é a diferença entre a área do disco externo e a área do furo interno (se houver).
  • Fórmula geral (para rotação em torno do eixo x, integrando em x):
V=\int_{a}^{b}\pi\bigl(R(x)\bigr)^{2}\,dx-\int_{a}^{b}\pi\bigl(r(x)\bigr)^{2}\,dx =\int_{a}^{b}\pi\Bigl(\bigl(R(x)\bigr)^{2}-\bigl(r(x)\bigr)^{2}\Bigr)\,dx,
onde \,R(x) é o raio externo (distância do eixo x até a curva superior) e \,r(x) é o raio interno (distância do eixo x até a curva inferior).

Passo 4

Aplicando o Método dos Discos ao nosso caso:
  • O eixo de rotação é o eixo x. Para um x fixo em [0,3]:
    • raio externo R(x) = distância do eixo x até y=9, isto é \,R(x)=9.
    • raio interno r(x) = distância do eixo x até y=x^{2}, isto é \,r(x)=x^{2}.
  • Substituindo na fórmula:
V_{\text{discos}}=\int_{0}^{3}\pi\Bigl( \bigl(9\bigr)^{2} - \bigl(x^{2}\bigr)^{2}\Bigr)\,dx =\int_{0}^{3}\pi\bigl(81 - x^{4}\bigr)\,dx.

Passo 5

Método das Cascas: ideia e fórmula.
  • Intuição: escolhemos tiras horizontais (espessura \mathrm{d}y); cada tira ao girar em torno do eixo x gera uma casca cilíndrica de raio igual à altura y e altura igual ao comprimento da tira em x.
  • Fórmula geral (rotação em torno do eixo x, integrando em y):
V=\int_{c}^{d}2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\,\mathrm{d}y,
onde \text{raio} é a distância do eixo de rotação até a tira (aqui é y) e \text{altura} é o comprimento da tira paralelo ao eixo de rotação (aqui é a extensão em x).

Passo 6

Aplicando o Método das Cascas ao nosso caso:
  • Para uma altura fixa y\in[0,9]:
    • raio da casca = distância da tira ao eixo x = y.
    • altura da casca = extensão em x da região a essa altura = x_{\text{direita}}-x_{\text{esquerda}}=\sqrt{y}-0=\sqrt{y} (pois pegamos x=\sqrt{y} a partir de y=x^{2}).
  • Elemento de volume da casca:
\mathrm{d}V = 2\pi\cdot(\text{raio})\cdot(\text{altura})\,\mathrm{d}y =2\pi\,y\cdot\sqrt{y}\,\mathrm{d}y=2\pi\,y^{3/2}\,\mathrm{d}y.
  • Integrando y de 0 a 9:
V_{\text{cascas}}=\int_{0}^{9}2\pi\,y^{3/2}\,\mathrm{d}y.

Resposta

V_{\text{discos}}=\int_{0}^{3}\pi\bigl(81 - x^{4}\bigr)\,\mathrm{d}x
V_{\text{cascas}}=\int_{0}^{9}2\pi\,y^{3/2}\,\mathrm{d}y

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