w = x y + z,\qquad x=\cos(t),\qquad y=\operatorname{sen}(t),\qquad z=t.
As perguntas são:
Encontrar \dfrac{d w}{d t} como função de t.
Calcular o valor de \dfrac{d w}{d t} em t=0.
Observação: \operatorname{sen}(t) é a notação em português para \sin(t); vou usar \sin nas fórmulas.
Passo 2
Estratégia para derivar: w(t) é soma de duas partes, x(t)y(t) e z(t). A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e para \dfrac{d}{dt}\big(x(t)y(t)\big) usamos a regra do produto. Vou escrever a regra do produto e explicar:
se u(t)=x(t)y(t), então
\frac{du}{dt}=x'(t)\,y(t)+x(t)\,y'(t).
Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}. É a fórmula que diz: derivar um produto é derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.
Passo 3
Calcular as derivadas das funções elementares que aparecem:
Aqui explico por que: essas são derivadas padrões de funções trigonométricas e da função identidade t. Em palavras: a derivada de \cos é -\sin, da \sin é \cos, e de t é 1.
Passo 4
Aplicar a regra do produto a x(t)y(t)=\cos(t)\sin(t):