Encontrar d w / d t se
w=x y+z, \quad x=\cos (t), \quad y=\operatorname{sen}(t), \quad z=t .
Qual o valor da derivada em t=0 ?

Passo 1

O enunciado dá as funções
w = x y + z,\qquad x=\cos(t),\qquad y=\operatorname{sen}(t),\qquad z=t.
As perguntas são:
  • Encontrar \dfrac{d w}{d t} como função de t.
  • Calcular o valor de \dfrac{d w}{d t} em t=0.
Observação: \operatorname{sen}(t) é a notação em português para \sin(t); vou usar \sin nas fórmulas.

Passo 2

Estratégia para derivar: w(t) é soma de duas partes, x(t)y(t) e z(t). A derivada de uma soma é a soma das derivadas, e para \dfrac{d}{dt}\big(x(t)y(t)\big) usamos a regra do produto. Vou escrever a regra do produto e explicar:
se u(t)=x(t)y(t), então
\frac{du}{dt}=x'(t)\,y(t)+x(t)\,y'(t).
Aqui x'(t)=\dfrac{dx}{dt} e y'(t)=\dfrac{dy}{dt}. É a fórmula que diz: derivar um produto é derivar o primeiro e multiplicar pelo segundo, mais o primeiro vezes a derivada do segundo.

Passo 3

Calcular as derivadas das funções elementares que aparecem:
\frac{d}{dt}\big(\cos(t)\big) = -\sin(t), \qquad \frac{d}{dt}\big(\sin(t)\big) = \cos(t), \qquad \frac{d}{dt}\big(t\big) = 1.
Aqui explico por que: essas são derivadas padrões de funções trigonométricas e da função identidade t. Em palavras: a derivada de \cos é -\sin, da \sin é \cos, e de t é 1.

Passo 4

Aplicar a regra do produto a x(t)y(t)=\cos(t)\sin(t):
\frac{d}{dt}\big(\cos(t)\sin(t)\big) = \big(\tfrac{d}{dt}\cos(t)\big)\sin(t) + \cos(t)\big(\tfrac{d}{dt}\sin(t)\big).
Substituindo as derivadas:
= \big(-\sin(t)\big)\sin(t) + \cos(t)\cos(t) = -\sin^2(t) + \cos^2(t).
Expliquei passo a passo: derivei \cos como -\sin e multiplique pelo \sin que estava junto; depois somei \cos vezes a derivada de \sin, que é \cos.

Passo 5

Derivando w=x y + z e usando linearidade (derivada da soma é soma das derivadas):
\frac{d w}{d t} = \frac{d}{dt}\big(\cos t\sin t\big) + \frac{d}{dt}(t) = \big(-\sin^2 t + \cos^2 t\big) + 1.
Podemos simplificar usando a identidade trigonométrica
\cos(2t)=\cos^2 t - \sin^2 t.
Logo
\frac{d w}{d t} = \cos(2t) + 1.
Essa forma é mais compacta e às vezes mais prática na hora da prova.

Passo 6

Agora avaliar em t=0. Usando \dfrac{d w}{d t}=\cos(2t)+1,
\left.\frac{d w}{d t}\right|_{t=0} = \cos(0\cdot 2) + 1 = \cos(0) + 1 = 1 + 1 = 2.
Se preferir, pode verificar substituindo em -\sin^2 t + \cos^2 t + 1: em t=0 temos \sin 0=0, \cos 0=1, então -0 + 1 + 1 = 2.

Resposta

\dfrac{d w}{d t}=\cos(2t)+1
\left.\dfrac{d w}{d t}\right|_{t=0}=2

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