Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. Quais são limitadas?
a_{n}=3-2 e^{-n}

Passo 1

O enunciado dá a sequência a_{n}=3-2e^{-n}. As perguntas são:
  • Determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.
  • Dizer quais são limitadas (ou seja, se é limitada superiormente, inferiormente e se é limitada em ambos os sentidos).
Informações relevantes fornecidas:
  • A fórmula explícita de a_{n} para cada n (assumo n\in\mathbb{N}, n\ge 1).
  • A sequência envolve a função exponencial decrescente e^{-n}.

Passo 2

Critério prático para monotonicidade (explicação didática):
  • Para uma sequência (a_n), uma maneira direta de verificar monotonicidade é calcular a diferença
a_{n+1}-a_n.
Se essa diferença for positiva para todo n da sequência, então (a_n) é estritamente crescente. Se for negativa para todo n, é estritamente decrescente. Se a diferença muda de sinal, a sequência não é monótona.
Vou aplicar esse critério ao caso dado.

Passo 3

Calcular a diferença a_{n+1}-a_n. Usando \,a_{n}=3-2e^{-n}\, temos
a_{n+1}=3-2e^{-(n+1)}.
Logo
a_{n+1}-a_n = \bigl(3-2e^{-(n+1)}\bigr)-\bigl(3-2e^{-n}\bigr).

Passo 4

Desenvolver a expressão e fatorar para enxergar o sinal:
a_{n+1}-a_n = -2e^{-(n+1)} + 2e^{-n}.
Fatorando 2e^{-n} obtemos
a_{n+1}-a_n = 2e^{-n}\bigl(1 - e^{-1}\bigr).
Agora observe os sinais: para todo n\ge 1 tem-se e^{-n}>0 e 1-e^{-1}>0 (porque e^{-1}\approx 0{,}3679). Portanto o produto é positivo:
a_{n+1}-a_n > 0\quad\text{para todo }n\ge 1.

Passo 5

Conclusão sobre monotonicidade (baseada no passo anterior):
  • Como a_{n+1}-a_n>0 para todo n\ge 1, a sequência (a_n) é estritamente crescente (crescente).
Comentário didático extra (intuição): a parcela e^{-n} decresce quando n aumenta, então -2e^{-n} aumenta; somando com 3 obtemos uma sequência que aumenta e vai se aproximando de 3.

Passo 6

Agora verificar se a sequência é limitada superiormente e inferiormente (explicação didática de limites e desigualdades):
  • Para limite superior: como e^{-n}>0 para todo n, tem-se -2e^{-n}<0. Assim
a_n = 3-2e^{-n} < 3\quad\text{para todo }n.
Logo 3 é um limite superior (mais precisamente, um supremum no conjunto dos termos) e a sequência é limitada superiormente por 3.

Passo 7

Limite inferior e limite global:
  • Para n\ge 1 a maior valor de e^{-n} ocorre em n=1, isto é, e^{-n}\le e^{-1}. Portanto
a_n = 3-2e^{-n} \ge 3-2e^{-1}\quad\text{para todo }n\ge 1.
Assim 3-2e^{-1} é um limite inferior (na verdade o mínimo, já que a sequência é crescente e atinge seu menor valor em n=1).
  • Como e^{-n}\to 0 quando n\to\infty, tem-se
\lim_{n\to\infty} a_n = \lim_{n\to\infty} \bigl(3-2e^{-n}\bigr) = 3-2\cdot 0 = 3.
Isso confirma que 3 é o menor majorante (supremo) e que a sequência se aproxima de 3 por baixo.

Passo 8

Resumo e interpretação numérica curta (opcional, para fixar a intuição):
  • Para n=1 temos a_1=3-2e^{-1}\approx 2{,}2642.
  • A sequência cresce a partir desse valor e se aproxima de 3 sem ultrapassá-lo.

Resposta

A sequência é estritamente crescente (crescente).
Limitada inferiormente por 3-2e^{-1} e limitada superiormente por 3; portanto é limitada.

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