Determine se a sequência dada é crescente, decrescente ou não monótona. Quais são limitadas?
Passo 1
O enunciado dá a sequência
. As perguntas são:
- Determinar se a sequência é crescente, decrescente ou não monótona.
- Dizer quais são limitadas (ou seja, se é limitada superiormente, inferiormente e se é limitada em ambos os sentidos).
Informações relevantes fornecidas:
- A fórmula explícita de
para cada (assumo , ). - A sequência envolve a função exponencial decrescente
.
Passo 2
Critério prático para monotonicidade (explicação didática):
- Para uma sequência
, uma maneira direta de verificar monotonicidade é calcular a diferença
Se essa diferença for positiva para todo
da sequência, então
é estritamente crescente. Se for negativa para todo
, é estritamente decrescente. Se a diferença muda de sinal, a sequência não é monótona.
Vou aplicar esse critério ao caso dado.
Vou aplicar esse critério ao caso dado.
Passo 3
Calcular a diferença
. Usando
temos
Logo
Passo 4
Desenvolver a expressão e fatorar para enxergar o sinal:
Fatorando
obtemos
Agora observe os sinais: para todo
tem-se
e
(porque
). Portanto o produto é positivo:
Passo 5
Conclusão sobre monotonicidade (baseada no passo anterior):
- Como
para todo , a sequência é estritamente crescente (crescente).
Comentário didático extra (intuição): a parcela
decresce quando
aumenta, então
aumenta; somando com
obtemos uma sequência que aumenta e vai se aproximando de
.
Passo 6
Agora verificar se a sequência é limitada superiormente e inferiormente (explicação didática de limites e desigualdades):
- Para limite superior: como
para todo , tem-se . Assim
Logo
é um limite superior (mais precisamente, um supremum no conjunto dos termos) e a sequência é limitada superiormente por
.
Passo 7
Limite inferior e limite global:
- Para
a maior valor de ocorre em , isto é, . Portanto
Assim
é um limite inferior (na verdade o mínimo, já que a sequência é crescente e atinge seu menor valor em
).
- Como
quando , tem-se
Isso confirma que
é o menor majorante (supremo) e que a sequência se aproxima de
por baixo.
Passo 8
Resumo e interpretação numérica curta (opcional, para fixar a intuição):
- Para
temos . - A sequência cresce a partir desse valor e se aproxima de
sem ultrapassá-lo.
Resposta
A sequência é estritamente crescente (crescente).
Limitada inferiormente por e limitada superiormente por
; portanto é limitada.
Limitada inferiormente por