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pontos) (Séries e análise complexa) As séries de potências são o ponto de partida para a definição de funções analíticas em variáveis complexas.
(a) Explique como o conceito de raio de convergência de uma série de potências
em
delimita o domínio de analiticidade de uma função complexa
.
(b) Dê um exemplo de função cuja série de Taylor (em torno de
) tenha raio de convergência finito, indicando a singularidade que o determina.
(a) Explique como o conceito de raio de convergência de uma série de potências
(b) Dê um exemplo de função cuja série de Taylor (em torno de
Passo 1
O enunciado tem duas partes:
(a) Explicar como o conceito de raio de convergência de uma série de potências
em
delimita o domínio de analiticidade de uma função complexa
.
(b) Dar um exemplo de função cuja série de Taylor em torno de
tenha raio de convergência finito, indicando a singularidade que determina esse raio.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
- Temos uma série de potências centrada em
: . - Existe um raio de convergência (possivelmente finito) que controla onde a série converge.
- A pergunta (a) pede a relação entre esse raio e o domínio onde a soma da série é analítica; a (b) pede um exemplo concreto (com identificação da singularidade que fixa o raio).
Passo 2
O que é uma série de potências e o que significa raio de convergência. Vou explicar devagar, como se estivéssemos conversando no laboratório.
Uma série de potências em torno de
é
onde os
são números complexos dados. Para cada
a série pode convergir ou divergir. O raio de convergência
é um número que resume isso: a série converge para todo
com
, diverge para todo
com
, e no caso
o comportamento pode variar ponto a ponto.
Como calcular
na prática? A fórmula mais útil é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
Aqui
é o limite superior das raízes
-ésimas; se essa quantidade for
então
(serie converge em todo
). Exemplo rápido de uso: se
para todo
então
e
, logo
.
Intuição do porquê isso funciona: aplicar o critério da raiz (root test) à série em
dá convergência quando
, o que reescrito dá
.
Passo 3
Por que dentro do disco de raio
a soma é uma função analítica (holomorfa). Isto é fundamental e é o que nos interessa para a prova, então vou mostrar o porquê em passos pequenos.
- Convergência e diferenciação termo a termo: se
então a série converge absolutamente e uniformemente em qualquer disco fechado com . A convergência uniforme em conjuntos compactos permite que a soma
seja diferenciada termo a termo (teorema clássico). Ou seja,
e essa série tem o mesmo raio
. Assim
tem derivada em todo ponto com
, logo é holomorfa nesse disco.
- Relação com séries de Taylor e fórmulas de coeficientes: se
é definida pela soma da série no disco, então os coeficientes satisfazem a fórmula de Taylor
Essa igualdade também mostra que a série de potências é, de fato, a série de Taylor de
centrada em
.
Resumo curto: dentro do disco
a soma da série é uma função analítica; fora do disco a série diverge, portanto a série não define
ali.
Passo 4
Por que o raio
está ligado às singularidades (pontos onde a função não é analítica) — a idéia principal e a forma prática de usar isso na prova.
Teorema heurístico (e que costuma ser cobrado): o raio de convergência
da série de Taylor de uma função
centrada em
é igual à distância do ponto
até a singularidade mais próxima de
(mais precisamente, da mais próxima singularidade do prolongamento analítico máximo de
). Em símbolos:
Por que isso é verdade (intuição e argumento simples):
- Se existe uma singularidade
com , então não é possível que a série converge em algum ponto com : se isso ocorresse a soma da série forneceria uma continuação analítica de além de , contradizendo que era singular. Assim para toda singularidade ; portanto é no máximo a distância à singularidade mais próxima. - Por outro lado, por definição de
como limite de convergência, a série converge em todo disco ; dentro desse disco a soma é analítica. Se não houvesse singularidade mais próxima do que , então poderíamos estender a função mais além de , o que mostraria não era o raio de convergência máximo. Portanto coincide com a distância ao primeiro obstáculo (primeira singularidade) que impede continuação analítica.
Em linguagem menos formal: o disco de convergência é o maior disco centrado em
em que a função dada pela série é analítica; o que impede que esse disco seja maior são as singularidades. Então o raio de convergência é exatamente até o primeiro “problema” (singularidade) no plano complexo.
Passo 5
Exemplo concreto — eu sei que você quer um exemplo simples e que dê para checar rapidinho na prova. Vou dar dois exemplos curtos e bem claros, mostrando também como calcular o raio pelo
quando for fácil.
Exemplo 1 (o mais clássico):
.
- Expandindo em torno de
obtemos a série geométrica clássica:
válida para
. Aqui
para todo
, então
e pelo Cauchy–Hadamard
.
- Singularidade que determina
: tem uma singularidade simples (pólo) em , e . Não há singularidade mais próxima do que essa, então ela fixa o raio .
Exemplo 2 (um pouco diferente, mostra singularidades complexas):
.
-
Os polos estão em
e . A distância de até cada polo é , logo a singularidade mais próxima está a distância de . -
A série de Taylor em torno de
pode ser escrita como
válida para
. Aqui os coeficientes são
,
, e a fórmula de Cauchy–Hadamard dá novamente
. A singularidade determinante é, por exemplo,
(polo simples), e é ela que impede expandir o raio além de
.
Passo 6
Resumo final, do jeito que gosto: o raio de convergência
é o tamanho do maior disco centrado em
onde a série define uma função analítica; esse raio é exatamente a distância do centro
até a singularidade mais próxima da função (do prolongamento analítico máximo). Em provas, use a fórmula de Cauchy–Hadamard para calcular
a partir dos coeficientes, e identifique a singularidade mais próxima para justificar o valor de
.
Resposta
(a) O raio de convergência
da série
é tal que a série converge (absolutamente, uniformemente em compactos) e define uma função analítica em
, e diverge para
; além disso
e
coincide com a distância do ponto
até a singularidade mais próxima do prolongamento analítico de
.\n
(b) Exemplo: tem raio de convergência
; a singularidade determinante é o pólo simples em
.
(Outro exemplo:
tem
devido aos polos em
.)
(b) Exemplo: