1. ( \mathbf{2 . 5} pontos) (Séries e análise complexa) As séries de potências são o ponto de partida para a definição de funções analíticas em variáveis complexas.
    (a) Explique como o conceito de raio de convergência de uma série de potências \sum c_{n}(z-a)^{n} em \mathbb{C} delimita o domínio de analiticidade de uma função complexa f(z).
    (b) Dê um exemplo de função cuja série de Taylor (em torno de z=0 ) tenha raio de convergência finito, indicando a singularidade que o determina.

Passo 1

O enunciado tem duas partes:
(a) Explicar como o conceito de raio de convergência de uma série de potências \sum c_{n}(z-a)^{n} em \mathbb{C} delimita o domínio de analiticidade de uma função complexa f(z).
(b) Dar um exemplo de função cuja série de Taylor em torno de z=0 tenha raio de convergência finito, indicando a singularidade que determina esse raio.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Temos uma série de potências centrada em a: \sum c_{n}(z-a)^{n}.
  • Existe um raio de convergência (possivelmente finito) que controla onde a série converge.
  • A pergunta (a) pede a relação entre esse raio e o domínio onde a soma da série é analítica; a (b) pede um exemplo concreto (com identificação da singularidade que fixa o raio).

Passo 2

O que é uma série de potências e o que significa raio de convergência. Vou explicar devagar, como se estivéssemos conversando no laboratório.
Uma série de potências em torno de a é
\sum_{n=0}^{\infty} c_n (z-a)^n,
onde os c_n são números complexos dados. Para cada z\in\mathbb{C} a série pode convergir ou divergir. O raio de convergência R\in[0,\infty] é um número que resume isso: a série converge para todo z com |z-a|<R, diverge para todo z com |z-a|>R, e no caso |z-a|=R o comportamento pode variar ponto a ponto.
Como calcular R na prática? A fórmula mais útil é a fórmula de Cauchy–Hadamard:
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty} |c_n|^{1/n}.
Aqui \limsup é o limite superior das raízes n-ésimas; se essa quantidade for 0 então R=\infty (serie converge em todo \mathbb{C}). Exemplo rápido de uso: se c_n=1 para todo n então |c_n|^{1/n}=1 e \limsup=1, logo R=1.
Intuição do porquê isso funciona: aplicar o critério da raiz (root test) à série em z dá convergência quando |z-a| \cdot \limsup |c_n|^{1/n} < 1, o que reescrito dá |z-a|<R.

Passo 3

Por que dentro do disco de raio R a soma é uma função analítica (holomorfa). Isto é fundamental e é o que nos interessa para a prova, então vou mostrar o porquê em passos pequenos.
  1. Convergência e diferenciação termo a termo: se |z-a|<R então a série converge absolutamente e uniformemente em qualquer disco fechado |z-a|\le r com r<R. A convergência uniforme em conjuntos compactos permite que a soma
f(z)=\sum_{n=0}^\infty c_n (z-a)^n
seja diferenciada termo a termo (teorema clássico). Ou seja,
f'(z)=\sum_{n=1}^\infty n c_n (z-a)^{n-1},
e essa série tem o mesmo raio R. Assim f tem derivada em todo ponto com |z-a|<R, logo é holomorfa nesse disco.
  1. Relação com séries de Taylor e fórmulas de coeficientes: se f é definida pela soma da série no disco, então os coeficientes satisfazem a fórmula de Taylor
c_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}.
Essa igualdade também mostra que a série de potências é, de fato, a série de Taylor de f centrada em a.
Resumo curto: dentro do disco |z-a|<R a soma da série é uma função analítica; fora do disco a série diverge, portanto a série não define f ali.

Passo 4

Por que o raio R está ligado às singularidades (pontos onde a função não é analítica) — a idéia principal e a forma prática de usar isso na prova.
Teorema heurístico (e que costuma ser cobrado): o raio de convergência R da série de Taylor de uma função f centrada em a é igual à distância do ponto a até a singularidade mais próxima de f (mais precisamente, da mais próxima singularidade do prolongamento analítico máximo de f). Em símbolos:
R=\inf\{\,|z-a| : z \text{ é singularidade de } f \,\}.é
Por que isso é verdade (intuição e argumento simples):
  • Se existe uma singularidade z_0 com |z_0-a|=\rho, então não é possível que a série converge em algum ponto com |z-a|>\rho: se isso ocorresse a soma da série forneceria uma continuação analítica de f além de z_0, contradizendo que z_0 era singular. Assim R\le\rho para toda singularidade z_0; portanto R é no máximo a distância à singularidade mais próxima.
  • Por outro lado, por definição de R como limite de convergência, a série converge em todo disco |z-a|<R; dentro desse disco a soma é analítica. Se não houvesse singularidade mais próxima do que R, então poderíamos estender a função mais além de R, o que mostraria R não era o raio de convergência máximo. Portanto R coincide com a distância ao primeiro obstáculo (primeira singularidade) que impede continuação analítica.
Em linguagem menos formal: o disco de convergência é o maior disco centrado em a em que a função dada pela série é analítica; o que impede que esse disco seja maior são as singularidades. Então o raio de convergência é exatamente até o primeiro “problema” (singularidade) no plano complexo.

Passo 5

Exemplo concreto — eu sei que você quer um exemplo simples e que dê para checar rapidinho na prova. Vou dar dois exemplos curtos e bem claros, mostrando também como calcular o raio pelo \limsup quando for fácil.
Exemplo 1 (o mais clássico): \displaystyle f(z)=\frac{1}{1-z}.
  • Expandindo em torno de 0 obtemos a série geométrica clássica:
\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^{\infty} z^n,
válida para |z|<1. Aqui c_n=1 para todo n, então
\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n}=1
e pelo Cauchy–Hadamard R=1.
  • Singularidade que determina R: f tem uma singularidade simples (pólo) em z=1, e |1-0|=1. Não há singularidade mais próxima do que essa, então ela fixa o raio R=1.
Exemplo 2 (um pouco diferente, mostra singularidades complexas): \displaystyle g(z)=\frac{1}{1+z^{2}}.
  • Os polos estão em z=i e z=-i. A distância de 0 até cada polo é |i-0|=1, logo a singularidade mais próxima está a distância 1 de 0.
  • A série de Taylor em torno de 0 pode ser escrita como
\frac{1}{1+z^{2}}=\sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n z^{2n},
válida para |z|<1. Aqui os coeficientes são c_{2n}=(-1)^n, c_{2n+1}=0, e a fórmula de Cauchy–Hadamard dá novamente R=1. A singularidade determinante é, por exemplo, z=i (polo simples), e é ela que impede expandir o raio além de 1.

Passo 6

Resumo final, do jeito que gosto: o raio de convergência R é o tamanho do maior disco centrado em a onde a série define uma função analítica; esse raio é exatamente a distância do centro a até a singularidade mais próxima da função (do prolongamento analítico máximo). Em provas, use a fórmula de Cauchy–Hadamard para calcular R a partir dos coeficientes, e identifique a singularidade mais próxima para justificar o valor de R.

Resposta

(a) O raio de convergência R da série \sum c_n (z-a)^n é tal que a série converge (absolutamente, uniformemente em compactos) e define uma função analítica em |z-a|<R, e diverge para |z-a|>R; além disso
\frac{1}{R}=\limsup_{n\to\infty}|c_n|^{1/n},
e R coincide com a distância do ponto a até a singularidade mais próxima do prolongamento analítico de f.\n
(b) Exemplo: \displaystyle f(z)=\frac{1}{1-z}=\sum_{n=0}^\infty z^n tem raio de convergência R=1; a singularidade determinante é o pólo simples em z=1. \displaystyle (Outro exemplo: \displaystyle \frac{1}{1+z^2} tem R=1 devido aos polos em z=\pm i.)

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