( \mathbf{2 . 5} pontos) Escolha parâmetros reais \alpha, \beta, a e um grau n \geq 2.
(a) Considere a função f(x)=e^{\alpha x} \cos (\beta x). Construa o polinômio de Taylor T_{n}^{(a)}(x) de f em torno de x=a.
(b) Utilize a forma de Lagrange para o resto R_{n}(x) e estime o erro máximo \left|R_{n}(x)\right| no intervalo [a-0,5, a+0,5].
(c) Escolha um valor de tolerância \varepsilon=10^{-3} e determine o menor n que garanta \left|R_{n}(x)\right| \leq \varepsilon.
(d) Valide numericamente sua aproximação em x=a \pm 0,2 e apresente os resultados em forma de tabela (valor exato, valor aproximado, erro absoluto).
(e) Comente o comportamento do erro à medida que n aumenta.
Passo 1
O enunciado pede várias coisas sobre a função f(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x): (a) construir o polinômio de Taylor T_{n}^{(a)}(x) em torno de x=a; (b) usar a forma de Lagrange do resto R_{n}(x) e estimar o erro máximo em [a-0,5,a+0,5]; (c) com \varepsilon=10^{-3} achar o menor n que garanta |R_{n}(x)|\le\varepsilon; (d) validar numericamente em x=a\pm 0,2 e apresentar tabela (valor exato, aproximado, erro absoluto); (e) comentar o comportamento do erro quando n aumenta.
Eu vou escolher parâmetros simples para que os cálculos fiquem diretos: \alpha=0, \beta=1 e a=0. Assim f(x)=\cos x, o intervalo pedido é [-0,5,0,5] e os pontos de validação são x=\pm 0,2. Não há necessidade de perguntar nada; sigo com esses valores escolhidos.
Passo 2
Fórmula geral do polinômio de Taylor (teoria): para uma função f suficientemente derivável, o polinômio de Taylor de grau n em torno de a é
Para estimar o erro máximo no intervalo [a-0,5,a+0,5]=[-0,5,0,5] usamos uma cota superior M para |f^{(n+1)}(t)| nesse intervalo e obtemos
|R_{n}(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}.
No nosso caso f(x)=\cos x. Todas as derivadas são \pm\cos ou \pm\sin, portanto para todo k e para todo t vale |f^{(k)}(t)|\le 1. Logo podemos tomar M=1. Assim a estimativa do erro máximo no intervalo é
Apresento os resultados da validação em forma de tabela pedida (cada linha com: ponto, valor exato, valor aproximado, erro absoluto). Os números estão com precisão suficiente para comparar.
Para x=0,2:
\text{valor exato}=\;0,9800665778412416,
\text{valor aproximado}=\;0,9800666666666667,
\text{erro absoluto}=\;8,88254\times 10^{-8}.
Para x=-0,2:
\text{valor exato}=\;0,9800665778412416,
\text{valor aproximado}=\;0,9800666666666667,
\text{erro absoluto}=\;8,88254\times 10^{-8}.
Passo 7
Comentário sobre o comportamento do erro quando n aumenta (item e): pela estimativa de Lagrange a ordem do resto é controlada por
|R_{n}(x)|\le \frac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Para x fixo (por exemplo x=0,2 ou x=0,5) o denominador cresce factorialmente com n, enquanto o numerador cresce geometricamente em potência de |x|. O crescimento factorial domina, portanto o erro decai muito rapidamente ao aumentar n. Isso explica por que com n=4 já obtivemos erro na ordem de 10^{-7} em x=0,2, muito abaixo da tolerância 10^{-3}. Em termos práticos: adicionar termos ao polinômio reduz o erro de forma extremamente eficiente para funções analíticas como \cos x; em particular, o decaimento do erro é super-rápido (mais rápido que qualquer potência) devido ao fator (n+1)! no denominador. Além disso, para pontos mais próximos de a o erro é ainda menor (porque |x-a|^{n+1} fica pequeno), e para pontos mais distantes dentro do intervalo a estimativa anterior dá o limite seguro. Por fim: mantenha a calma — para funções tipo trigonométrica/exponencial a expansão de Taylor converge rápido, o que é bom para provas e aproximações numéricas!
Resposta
(a) \displaystyle T_{n}^{(0)}(x)=\sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{(-1)^{m}}{(2m)!}\,x^{2m}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots (até grau \le n).\n(b) \displaystyle |R_{n}(x)|\le \frac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}\le \frac{(0,5)^{\,n+1}}{(n+1)!} para x\in[-0,5,0,5].\n(c) n=4.\n(d) Para x=0,2: valor exato 0,9800665778412416, valor aproximado 0,9800666666666667, erro absoluto 8,88254\times10^{-8}. Para x=-0,2: valor exato 0,9800665778412416, valor aproximado 0,9800666666666667, erro absoluto 8,88254\times10^{-8}.\n(e) O erro decai muito rapidamente com n porque está limitado por \dfrac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}; o crescimento factorial no denominador domina e produz convergência super-rápida.