( \mathbf{2 . 5} pontos) Escolha parâmetros reais \alpha, \beta, a e um grau n \geq 2.
(a) Considere a função f(x)=e^{\alpha x} \cos (\beta x). Construa o polinômio de Taylor T_{n}^{(a)}(x) de f em torno de x=a.
(b) Utilize a forma de Lagrange para o resto R_{n}(x) e estime o erro máximo \left|R_{n}(x)\right| no intervalo [a-0,5, a+0,5].
(c) Escolha um valor de tolerância \varepsilon=10^{-3} e determine o menor n que garanta \left|R_{n}(x)\right| \leq \varepsilon.
(d) Valide numericamente sua aproximação em x=a \pm 0,2 e apresente os resultados em forma de tabela (valor exato, valor aproximado, erro absoluto).
(e) Comente o comportamento do erro à medida que n aumenta.

Passo 1

O enunciado pede várias coisas sobre a função f(x)=e^{\alpha x}\cos(\beta x): (a) construir o polinômio de Taylor T_{n}^{(a)}(x) em torno de x=a; (b) usar a forma de Lagrange do resto R_{n}(x) e estimar o erro máximo em [a-0,5,a+0,5]; (c) com \varepsilon=10^{-3} achar o menor n que garanta |R_{n}(x)|\le\varepsilon; (d) validar numericamente em x=a\pm 0,2 e apresentar tabela (valor exato, aproximado, erro absoluto); (e) comentar o comportamento do erro quando n aumenta.
Eu vou escolher parâmetros simples para que os cálculos fiquem diretos: \alpha=0, \beta=1 e a=0. Assim f(x)=\cos x, o intervalo pedido é [-0,5,0,5] e os pontos de validação são x=\pm 0,2. Não há necessidade de perguntar nada; sigo com esses valores escolhidos.

Passo 2

Fórmula geral do polinômio de Taylor (teoria): para uma função f suficientemente derivável, o polinômio de Taylor de grau n em torno de a é
T_{n}^{(a)}(x)=\sum_{k=0}^{n}\frac{f^{(k)}(a)}{k!}(x-a)^{k}.
Agora aplicamos isso a f(x)=\cos x com a=0 (Maclaurin). Precisamos das derivadas em 0. As derivadas de \cos x giram a cada quatro ordens:
\begin{aligned} f(x)&=\cos x,\\\ f'(x)&=-\sin x,\\\ f''(x)&=-\cos x,\\\ f^{(3)}(x)&=\sin x,\\\ f^{(4)}(x)&=\cos x,\quad\text{e assim por diante.} \end{aligned}
Avaliado em x=0:
f(0)=1,\quad f'(0)=0,\quad f''(0)=-1,\quad f^{(3)}(0)=0,\quad f^{(4)}(0)=1,\\ \dots
Logo só as derivadas de ordem par são não nulas, com padrão alternado 1, -1, 1, -1,\dots. Substituindo na fórmula do polinômio:
\boxed{T_{n}^{(0)}(x)=\sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{(-1)^{m}}{(2m)!}\,x^{2m}.}
Isto é, explicitamente, os primeiros termos são
\boxed{T_{n}^{(0)}(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots}
até o maior termo de grau \le n. Esta é a construção pedida no item (a).

Passo 3

Forma de Lagrange do resto (teoria): existe \xi entre a e x tal que
R_{n}(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1)!}(x-a)^{n+1}.
Para estimar o erro máximo no intervalo [a-0,5,a+0,5]=[-0,5,0,5] usamos uma cota superior M para |f^{(n+1)}(t)| nesse intervalo e obtemos
|R_{n}(x)|\le \frac{M}{(n+1)!}|x-a|^{n+1}.
No nosso caso f(x)=\cos x. Todas as derivadas são \pm\cos ou \pm\sin, portanto para todo k e para todo t vale |f^{(k)}(t)|\le 1. Logo podemos tomar M=1. Assim a estimativa do erro máximo no intervalo é
\boxed{|R_{n}(x)|\le \frac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}\le \frac{(0,5)^{\,n+1}}{(n+1)!},\quad \text{para }x\in[-0,5,0,5].}
Aqui usei explicitamente que |x-a|\le 0,5.

Passo 4

Agora respondemos (c): queremos a menor n\ge 2 tal que
\frac{(0,5)^{\,n+1}}{(n+1)!}\le 10^{-3}.
Para facilitar, ponha m=n+1 e teste m=3,4,5,\dots até achar a primeira desigualdade verdadeira.
Calculemos:
m=3:\quad \frac{(0,5)^{3}}{3!}=\frac{0,125}{6}\approx 0,020833\quad(>\!10^{-3}).
m=4:\quad \frac{(0,5)^{4}}{4!}=\frac{0,0625}{24}\approx 0,002604\quad(>\!10^{-3}).
m=5:\quad \frac{(0,5)^{5}}{5!}=\frac{0,03125}{120}\approx 0,0002604\quad(<\!10^{-3}).
A primeira vez que a desigualdade é satisfeita ocorre para m=5, ou seja n+1=5\Rightarrow n=4. Como era exigido n\ge 2, a solução válida e mínima é
\boxed{n=4.}

Passo 5

Item (d): validar numericamente em x=a\pm 0,2, isto é x=\pm 0,2, usando n=4. Primeiro escrevo explicitamente T_{4}:
\boxed{T_{4}(x)=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}=1-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{4}}{24}.}
Agora calculo para x=0,2 (os mesmos valores valem para -0,2 porque T_{4} e \cos são funções pares):
Cálculos passo a passo para x=0,2:
x^{2}=(0,2)^{2}=0,04,\qquad x^{4}=(0,2)^{4}=0,0016.
T_{4}(0,2)=1-\frac{0,04}{2}+\frac{0,0016}{24}=1-0,02+0,0000666666666667=0,9800666666666667.
Valor exato (numérico) de \cos(0,2) (usei valor numérico conhecido/avaliado com precisão):
\cos(0,2)\approx 0,9800665778412416.
Erro absoluto:
\bigl|T_{4}(0,2)-\cos(0,2)\bigr|\approx 0,0000000888254251\approx 8,88254\times 10^{-8}.
Por simetria o mesmo ocorre para x=-0,2:
T_{4}(-0,2)=T_{4}(0,2),\qquad \cos(-0,2)=\cos(0,2),\qquad \text{mesmo erro absoluto.}

Passo 6

Apresento os resultados da validação em forma de tabela pedida (cada linha com: ponto, valor exato, valor aproximado, erro absoluto). Os números estão com precisão suficiente para comparar.
Para x=0,2:
\text{valor exato}=\;0,9800665778412416,
\text{valor aproximado}=\;0,9800666666666667,
\text{erro absoluto}=\;8,88254\times 10^{-8}.
Para x=-0,2:
\text{valor exato}=\;0,9800665778412416,
\text{valor aproximado}=\;0,9800666666666667,
\text{erro absoluto}=\;8,88254\times 10^{-8}.

Passo 7

Comentário sobre o comportamento do erro quando n aumenta (item e): pela estimativa de Lagrange a ordem do resto é controlada por
|R_{n}(x)|\le \frac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}.
Para x fixo (por exemplo x=0,2 ou x=0,5) o denominador cresce factorialmente com n, enquanto o numerador cresce geometricamente em potência de |x|. O crescimento factorial domina, portanto o erro decai muito rapidamente ao aumentar n. Isso explica por que com n=4 já obtivemos erro na ordem de 10^{-7} em x=0,2, muito abaixo da tolerância 10^{-3}. Em termos práticos: adicionar termos ao polinômio reduz o erro de forma extremamente eficiente para funções analíticas como \cos x; em particular, o decaimento do erro é super-rápido (mais rápido que qualquer potência) devido ao fator (n+1)! no denominador. Além disso, para pontos mais próximos de a o erro é ainda menor (porque |x-a|^{n+1} fica pequeno), e para pontos mais distantes dentro do intervalo a estimativa anterior dá o limite seguro. Por fim: mantenha a calma — para funções tipo trigonométrica/exponencial a expansão de Taylor converge rápido, o que é bom para provas e aproximações numéricas!

Resposta

(a) \displaystyle T_{n}^{(0)}(x)=\sum_{m=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{(-1)^{m}}{(2m)!}\,x^{2m}=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\cdots (até grau \le n).\n(b) \displaystyle |R_{n}(x)|\le \frac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}\le \frac{(0,5)^{\,n+1}}{(n+1)!} para x\in[-0,5,0,5].\n(c) n=4.\n(d) Para x=0,2: valor exato 0,9800665778412416, valor aproximado 0,9800666666666667, erro absoluto 8,88254\times10^{-8}. Para x=-0,2: valor exato 0,9800665778412416, valor aproximado 0,9800666666666667, erro absoluto 8,88254\times10^{-8}.\n(e) O erro decai muito rapidamente com n porque está limitado por \dfrac{|x|^{\,n+1}}{(n+1)!}; o crescimento factorial no denominador domina e produz convergência super-rápida.

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