(2,5 pontos) Escolha UM E SOMENTE UM dos ítens abaixo:
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a seguinte integral iterada
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} d z d y d x
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
O enunciado fornece a integral iterada
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} d z\, d y\, d x.
Observações diretas dos limites dados:
As projeções em x e y mostram que (x,y) varia sobre o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
Para cada ponto (x,y) desse disco, z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
O que é pedido: calcular essa integral usando coordenadas cilíndricas (ou seja, encontrar o volume da região descrita pelos limites).
Passo 2
Troca para coordenadas cilíndricas e justificativa das variáveis.
Em coordenadas cilíndricas usamos:x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z, e \theta é o ângulo no plano xy.
O diferencial de volume em cilíndricas édV = r\, dr\, d\theta\, dz,porque o jacobiano da mudança (x,y)\mapsto(r,\theta) é r.
Agora traduzimos os limites:
A projeção no plano xy é o disco r\le 1. Logo \,0\le r\le 1 e \,0\le\theta\le 2\pi.
Os limites em z dependem de r: a função x^{2}+y^{2} vira r^{2} e \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} vira \sqrt{4-r^{2}}. Assimr^{2}\le z\le \sqrt{4-r^{2}}.