(2,5 pontos) Escolha UM E SOMENTE UM dos ítens abaixo:
Utilizando coordenadas cilíndricas, calcule a seguinte integral iterada
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} d z d y d x

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • O enunciado fornece a integral iterada
\int_{-1}^{1} \int_{-\sqrt{1-x^{2}}}^{\sqrt{1-x^{2}}} \int_{x^{2}+y^{2}}^{\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}} d z\, d y\, d x.
  • Observações diretas dos limites dados:
    • As projeções em x e y mostram que (x,y) varia sobre o disco \{(x,y)\mid x^{2}+y^{2}\le 1\}.
    • Para cada ponto (x,y) desse disco, z varia de z=x^{2}+y^{2} até z=\sqrt{4-x^{2}-y^{2}}.
  • O que é pedido: calcular essa integral usando coordenadas cilíndricas (ou seja, encontrar o volume da região descrita pelos limites).

Passo 2

Troca para coordenadas cilíndricas e justificativa das variáveis.
  • Em coordenadas cilíndricas usamos: x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z.Aqui r\ge0 é a distância ao eixo z, e \theta é o ângulo no plano xy.
  • O diferencial de volume em cilíndricas é dV = r\, dr\, d\theta\, dz,porque o jacobiano da mudança (x,y)\mapsto(r,\theta) é r.
  • Agora traduzimos os limites:
    • A projeção no plano xy é o disco r\le 1. Logo \,0\le r\le 1 e \,0\le\theta\le 2\pi.
    • Os limites em z dependem de r: a função x^{2}+y^{2} vira r^{2} e \sqrt{4-x^{2}-y^{2}} vira \sqrt{4-r^{2}}. Assim r^{2}\le z\le \sqrt{4-r^{2}}.

Passo 3

Escrever a integral em coordenadas cilíndricas.
\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1}\int_{r^{2}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r\, dz\, dr\, d\theta.
Explicação curta: o integrando original era 1, e o r adicional vem do jacobiano.

Passo 4

Integração em z (primeira integração a fazer).
  • Integrando \int_{r^{2}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r\, dz tratamos r como constante: \int_{r^{2}}^{\sqrt{4-r^{2}}} r\, dz = r\left(\sqrt{4-r^{2}} - r^{2}\right).
  • Assim a integral fica \int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{1} r\left(\sqrt{4-r^{2}} - r^{2}\right)\, dr\, d\theta.

Passo 5

Separar a integral em duas parcelas e tratar o fator angular.
  • Escrevendo separadamente: \int_{0}^{2\pi} d\theta \cdot \int_{0}^{1}\left[r\sqrt{4-r^{2}} - r^{3}\right] dr.
  • Como \int_{0}^{2\pi} d\theta = 2\pi, o volume V é V = 2\pi\cdot \int_{0}^{1}\left[r\sqrt{4-r^{2}} - r^{3}\right] dr.

Passo 6

Calcular a primeira integral radial I_{1}=\int_{0}^{1} r\sqrt{4-r^{2}}\, dr por substituição.
  • Faça a substituição u = 4 - r^{2}. Então du = -2r\, dr, ou seja r\, dr = -\tfrac{1}{2}du.
  • Quando r=0 temos u=4. Quando r=1 temos u=3.
  • Portanto I_{1}=\int_{r=0}^{1} r\sqrt{4-r^{2}}\, dr = \int_{u=4}^{3} \sqrt{u}\left(-\tfrac{1}{2}\right) du = \tfrac{1}{2}\int_{3}^{4} u^{1/2}\, du.
  • Integrando u^{1/2} obtemos \tfrac{2}{3}u^{3/2}, então I_{1} = \tfrac{1}{2}\cdot \left[\tfrac{2}{3}u^{3/2}\right]_{3}^{4} = \tfrac{1}{3}\left(4^{3/2} - 3^{3/2}\right).
  • Avaliando potências: 4^{3/2} = ( \sqrt{4} )^{3} = 2^{3} = 8,\qquad 3^{3/2}=3\sqrt{3}.Assim I_{1} = \tfrac{1}{3}\left(8 - 3\sqrt{3}\right) = \tfrac{8}{3} - \sqrt{3}.

Passo 7

Calcular a segunda integral radial I_{2}=\int_{0}^{1} r^{3}\, dr.
  • Antiderivada de r^{3} é \tfrac{r^{4}}{4}. Avaliando de 0 a 1 I_{2} = \left.\tfrac{r^{4}}{4}\right|_{0}^{1} = \tfrac{1}{4}.

Passo 8

Subtrair as parcelas e simplificar a integral radial total.
  • A integral radial total é I = I_{1} - I_{2}: I = \left(\tfrac{8}{3} - \sqrt{3}\right) - \tfrac{1}{4}.
  • Colocando em denominador comum 12: I = \tfrac{32}{12} - \tfrac{12\sqrt{3}}{12} - \tfrac{3}{12} = \tfrac{29 - 12\sqrt{3}}{12}.

Passo 9

Multiplicar pelo fator angular 2\pi e escrever a resposta final simplificada.
  • Finalmente V = 2\pi\cdot I = 2\pi\cdot \tfrac{29 - 12\sqrt{3}}{12} = \pi\cdot \tfrac{29 - 12\sqrt{3}}{6}.
  • Podemos também expandir: V = \tfrac{29\pi}{6} - 2\pi\sqrt{3}.

Resposta

\displaystyle V=\pi\cdot \dfrac{29-12\sqrt{3}}{6}=\dfrac{29\pi}{6}-2\pi\sqrt{3}

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