(2,5 pontos) Calcule a seguinte integral iterada invertendo a ordem de integração
\int_{0}^{1} \int_{y}^{1} y \sin \left(x^{3}\right) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral iterada trocando a ordem de integração. A integral dada é
\int_{0}^{1}\int_{y}^{1} y\sin\left(x^{3}\right)\,dx\,dy.
Informações fornecidas:
  • A variável externa é y com 0\le y\le 1.
  • Para cada y, a variável interna x varia de x=y até x=1.
  • O integrando é y\sin\!\left(x^{3}\right).
O pedido explícito é: inverter a ordem de integração e calcular o valor da integral.

Passo 2

Identificar a região de integração no plano xy para poder inverter a ordem. A condição original diz:
0\le y\le 1,\qquad y\le x\le 1.
Isso descreve o triângulo fechado com vértices (0,0), (1,0) e (1,1), ou seja todos os pontos com 0\le x\le 1 e 0\le y\le x.
Portanto, invertendo a ordem, x vai de 0 a 1 e, para cada x, y vai de 0 a x. Assim a integral com ordem trocada fica
\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{x} y\sin\left(x^{3}\right)\,dy\,dx.

Passo 3

Explicar por que trocar a ordem facilita: no integrando y\sin\!\left(x^{3}\right) a dependência em y e x está separada (produto de função de y por função de x), então integrando primeiro em y simplifica muito — a parte com \sin\!\left(x^{3}\right) é tratada como constante em relação a y.
Vamos fazer a integral interna em y:
\int_{y=0}^{x} y\sin\left(x^{3}\right)\,dy.
Como \sin\!\left(x^{3}\right) é constante em y neste passo, pode-se fatorá-la:
\sin\left(x^{3}\right)\int_{0}^{x} y\,dy.

Passo 4

Calcular \int_{0}^{x} y\,dy. Esta é uma integral básica de potência: para \int y\,dy a primitiva é y^{2}/2. Avaliando de 0 a x
\int_{0}^{x} y\,dy = \left.\frac{y^{2}}{2}\right|_{0}^{x} = \frac{x^{2}}{2}.
Substituindo de volta, a integral dupla fica uma integral simples em x:
\int_{0}^{1}\sin\left(x^{3}\right)\cdot\frac{x^{2}}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{2}\sin\left(x^{3}\right)\,dx.

Passo 5

Agora usar substituição para calcular \int_{0}^{1} x^{2}\sin\left(x^{3}\right)\,dx. A ideia da substituição é reconhecer a derivada da função dentro do seno: se \,u=x^{3} então \,du=3x^{2}dx, ou seja x^{2}dx=\dfrac{du}{3}. Essa escolha é natural porque a derivada de x^{3} é proporcional a x^{2}, presente no integrando.
Fazer a mudança de variável:
u = x^{3},\qquad du = 3x^{2}dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}dx=\frac{du}{3}.
Quando x=0 temos u=0^{3}=0. Quando x=1 temos u=1^{3}=1.

Passo 6

Aplicar a substituição na integral obtida em \

Passo 7

\frac{1}{2}\int_{0}^{1} x^{2}\sin\left(x^{3}\right)\,dx = \frac{1}{2}\int_{u=0}^{1} \sin(u)\cdot\frac{du}{3} = \frac{1}{6}\int_{0}^{1}\sin(u)\,du.
Agora calcular \int_{0}^{1}\sin(u)\,du. A primitiva de \sin(u) é -\cos(u). Avaliando de 0 a 1
\int_{0}^{1}\sin(u)\,du = \left.-\cos(u)\right|_{0}^{1} = -\cos(1) -\bigl(-\cos(0)\bigr) = -\cos(1)+\cos(0).
Sabendo que \cos(0)=1, isso é 1-\cos(1).
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{6} obtemos o valor final:
\frac{1}{6}\bigl(1-\cos(1)\bigr).

Passo 8

Resumo e interpretação rápida: trocamos a ordem porque a região é o triângulo 0\le y\le x\le 1; integrar primeiro em y torna a integral simples (padrão polinomial), e a integral restante em x foi resolvida por substituição u=x^{3}. O resultado é uma expressão fechada simples em termos de \cos(1).

Resposta

\dfrac{1-\cos 1}{6}

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