Explicar por que trocar a ordem facilita: no integrando y\sin\!\left(x^{3}\right) a dependência em y e x está separada (produto de função de y por função de x), então integrando primeiro em y simplifica muito — a parte com \sin\!\left(x^{3}\right) é tratada como constante em relação a y.
Vamos fazer a integral interna em y:
\int_{y=0}^{x} y\sin\left(x^{3}\right)\,dy.
Como \sin\!\left(x^{3}\right) é constante em y neste passo, pode-se fatorá-la:
\sin\left(x^{3}\right)\int_{0}^{x} y\,dy.
Passo 4
Calcular \int_{0}^{x} y\,dy. Esta é uma integral básica de potência: para \int y\,dy a primitiva é y^{2}/2. Avaliando de 0 a x dá
Agora usar substituição para calcular \int_{0}^{1} x^{2}\sin\left(x^{3}\right)\,dx. A ideia da substituição é reconhecer a derivada da função dentro do seno: se \,u=x^{3} então \,du=3x^{2}dx, ou seja x^{2}dx=\dfrac{du}{3}. Essa escolha é natural porque a derivada de x^{3} é proporcional a x^{2}, presente no integrando.
Fazer a mudança de variável:
u = x^{3},\qquad du = 3x^{2}dx \quad\Rightarrow\quad x^{2}dx=\frac{du}{3}.
Quando x=0 temos u=0^{3}=0. Quando x=1 temos u=1^{3}=1.
Multiplicando pelo fator \dfrac{1}{6} obtemos o valor final:
\frac{1}{6}\bigl(1-\cos(1)\bigr).
Passo 8
Resumo e interpretação rápida: trocamos a ordem porque a região é o triângulo 0\le y\le x\le 1; integrar primeiro em y torna a integral simples (padrão polinomial), e a integral restante em x foi resolvida por substituição u=x^{3}. O resultado é uma expressão fechada simples em termos de \cos(1).