(2,5 pontos) Utilize coordenadas polares para calcular a área da região do plano que está no interior do circulo x^{2}+y^{2}=2 y e fora do circulo x^{2}+y^{2}=1.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado:
  • Pede-se a área da região do plano que está no interior do círculo x^{2}+y^{2}=2y e fora do círculo x^{2}+y^{2}=1.
  • Informações dadas:
    • Círculo 1: x^{2}+y^{2}=2y.
    • Círculo 2: x^{2}+y^{2}=1.
  • Objetivo claro: calcular a área dessa região plana.

Passo 2

Por que usar coordenadas polares e como elas funcionam (aula rápida):
  • Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta o ângulo.
  • A pequena área em coordenadas polares não é dr\,d\theta simples, é multiplicada pelo fator jacobiano r. Ou seja, o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
  • Isso acontece porque ao variar r e \theta a área elemental forma um setor aproximadamente retangular com lados dr e r\,d\theta.

Passo 3

Converter as equações dos círculos para coordenadas polares:
  • Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em x^{2}+y^{2}=2y
r^{2}=2r\sin\theta.
  • Como r=0 é a origem (caso trivial), a curva relevante é
r=2\sin\theta.
  • Para x^{2}+y^{2}=1 obtemos diretamente
r^{2}=1\quad\Rightarrow\quad r=1
(consideramos r\ge0).

Passo 4

Determinar os limites angulares \theta de interesse:
  • A região desejada está entre as duas curvas radiais r=1 e r=2\sin\theta. Para que isso faça sentido, precisamos ter 2\sin\theta\ge1 (caso contrário não existem pontos com r entre 1 e 2\sin\theta).
  • Resolver 2\sin\theta=1 \sin\theta=\tfrac{1}{2}, cujas soluções no intervalo [0,2\pi) relevantes para a parte superior são \theta=\tfrac{\pi}{6} e \theta=\tfrac{5\pi}{6}.
  • Portanto o ângulo varia entre
\theta\in\left[\tfrac{\pi}{6},\tfrac{5\pi}{6}\right],
onde 2\sin\theta\ge1 e r pode variar de 1 até 2\sin\theta.

Passo 5

Montar a integral dupla em polares para a área:
  • Como o elemento de área é r\,dr\,d\theta e os limites são os determinados acima, a área A é
A=\int_{\theta=\pi/6}^{5\pi/6}\int_{r=1}^{2\sin\theta} r\,dr\,d\theta.
  • Interpretação: para cada ângulo \theta entre \pi/6 e 5\pi/6 percorremos os raios desde r=1 (fora do círculo de raio 1) até r=2\sin\theta (dentro do círculo deslocado).

Passo 6

Calcular a integral interna em r:
  • A integral interna é
\int_{1}^{2\sin\theta} r\,dr=\left.\frac{r^{2}}{2}\right|_{1}^{2\sin\theta}=\frac{(2\sin\theta)^{2}}{2}-\frac{1^{2}}{2}.
  • Simplificando:
\frac{(2\sin\theta)^{2}}{2}-\frac{1}{2}=\frac{4\sin^{2}\theta}{2}-\frac{1}{2}=2\sin^{2}\theta-\frac{1}{2}.

Passo 7

Simplificar o integrando usando identidade trigonométrica:
  • Usamos a identidade \sin^{2}\theta=\dfrac{1-\cos(2\theta)}{2}. Assim
2\sin^{2}\theta-\frac{1}{2}=2\cdot\frac{1-\cos(2\theta)}{2}-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}-\cos(2\theta).
  • Então a integral em \theta fica mais simples:
A=\int_{\pi/6}^{5\pi/6}\left(\frac{1}{2}-\cos(2\theta)\right)d\theta.

Passo 8

Integrar em \theta:
  • Uma primitiva de \frac{1}{2}-\cos(2\theta) é
\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{2}\sin(2\theta),
pois \dfrac{d}{d\theta}\big(\tfrac{1}{2}\theta\big)=\tfrac{1}{2} e \dfrac{d}{d\theta}\big(-\tfrac{1}{2}\sin(2\theta)\big)=-\cos(2\theta).
  • Avaliando nos limites:
A=\left[\frac{1}{2}\theta-\frac{1}{2}\sin(2\theta)\right]_{\theta=\pi/6}^{\theta=5\pi/6}.

Passo 9

Avaliar a expressão nos limites e simplificar:
  • Avaliação no limite superior \theta=\tfrac{5\pi}{6}:
    • \dfrac{1}{2}\theta=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{5\pi}{6}=\dfrac{5\pi}{12}.
    • \sin(2\theta)=\sin\big(\tfrac{10\pi}{6}\big)=\sin\big(\tfrac{5\pi}{3}\big)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • Então o termo -\dfrac{1}{2}\sin(2\theta) vale -\dfrac{1}{2}\cdot\big(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\big)=\dfrac{\sqrt{3}}{4}.
    • Soma no superior: \dfrac{5\pi}{12}+\dfrac{\sqrt{3}}{4}.
  • Avaliação no limite inferior \theta=\tfrac{\pi}{6}:
    • \dfrac{1}{2}\theta=\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\pi}{6}=\dfrac{\pi}{12}.
    • \sin(2\theta)=\sin\big(\tfrac{\pi}{3}\big)=\dfrac{\sqrt{3}}{2}.
    • Então -\dfrac{1}{2}\sin(2\theta)=-\dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{4}.
    • Soma no inferior: \dfrac{\pi}{12}-\dfrac{\sqrt{3}}{4}.
  • Subtraindo superior menos inferior:
A=\left(\frac{5\pi}{12}+\frac{\sqrt{3}}{4}\right)-\left(\frac{\pi}{12}-\frac{\sqrt{3}}{4}\right) =\frac{4\pi}{12}+\frac{2\sqrt{3}}{4}=\frac{\pi}{3}+\frac{\sqrt{3}}{2}.

Passo 10

Interpretação final e checagem rápida:
  • O resultado é a área exata da região pedida.
  • Se desejar uma aproximação numérica, \dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 1{,}0472+0{,}8660\approx 1{,}9132. Força, você já chegou lá!

Resposta

\dfrac{\pi}{3}+\dfrac{\sqrt{3}}{2}

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