(2,5 pontos) Utilize coordenadas polares para calcular a área da região do plano que está no interior do circulo x^{2}+y^{2}=2 y e fora do circulo x^{2}+y^{2}=1.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado:
Pede-se a área da região do plano que está no interior do círculo x^{2}+y^{2}=2y e fora do círculo x^{2}+y^{2}=1.
Informações dadas:
Círculo 1: x^{2}+y^{2}=2y.
Círculo 2: x^{2}+y^{2}=1.
Objetivo claro: calcular a área dessa região plana.
Passo 2
Por que usar coordenadas polares e como elas funcionam (aula rápida):
Em coordenadas polares usa-se x=r\cos\theta e y=r\sin\theta, com r\ge0 e \theta o ângulo.
A pequena área em coordenadas polares não é dr\,d\theta simples, é multiplicada pelo fator jacobiano r. Ou seja, o elemento de área é
dA = r\,dr\,d\theta.
Isso acontece porque ao variar r e \theta a área elemental forma um setor aproximadamente retangular com lados dr e r\,d\theta.
Passo 3
Converter as equações dos círculos para coordenadas polares:
Substituindo x=r\cos\theta e y=r\sin\theta em x^{2}+y^{2}=2y dá
r^{2}=2r\sin\theta.
Como r=0 é a origem (caso trivial), a curva relevante é
r=2\sin\theta.
Para x^{2}+y^{2}=1 obtemos diretamente
r^{2}=1\quad\Rightarrow\quad r=1
(consideramos r\ge0).
Passo 4
Determinar os limites angulares \theta de interesse:
A região desejada está entre as duas curvas radiais r=1 e r=2\sin\theta. Para que isso faça sentido, precisamos ter 2\sin\theta\ge1 (caso contrário não existem pontos com r entre 1 e 2\sin\theta).
Resolver 2\sin\theta=1 dá \sin\theta=\tfrac{1}{2}, cujas soluções no intervalo [0,2\pi) relevantes para a parte superior são \theta=\tfrac{\pi}{6} e \theta=\tfrac{5\pi}{6}.
Interpretação: para cada ângulo \theta entre \pi/6 e 5\pi/6 percorremos os raios desde r=1 (fora do círculo de raio 1) até r=2\sin\theta (dentro do círculo deslocado).