Dado o plano \pi: x+y+2 z=1 e o ponto D=(1,1,1) resolva as questões abaixo fazendo um esboço da solução :
(a) ( 1,5 pts) Determine equações paramétricas para plano \pi. Usando essa parametrização determine 3 pontos A, B e C tais que A B C determine um triângulo CONTIDO NO PLANO \pi. (Mostre que os pontos escolhidos satisfazem as duas condições pedidas: estão no plano e não estão alinhados)
(b) (1 pt) Classifique os ângulos internos do triângulo A B C como agudo, obtuso ou reto USANDO PRODUTO ESCALAR.
(c) (1 pt) Determine a altura do triângulo A B C relativa ao lado A B USANDO PROJEÇÃO ORTOGONAL.
(d) (1 pt) Determine uma reta m passando por D e perpendicular à reta determinada pela aresta A B.
(e) (1 pt) Determine uma reta l, passando por D e perpendicular ao plano \pi. Calcule o ponto de interseção entre l e \pi.
(f) (1 pt) Determine uma reta s e um plano \pi_{2} passando por D e paralelos ao plano \pi. Quantas retas existem com essas propriedades? Quantos planos existem com essa propriedade?
(g) (1 pt) Determine a equação geral do plano contendo a face D A B.
(h) ( 1,5 pts) Mostre que os pontos A, B, C e D podem ser vistos como vértices de uma pirâmide A B C D. Determine também o volume dessa pirâmide USANDO o produto misto. Determine a altura relativa à base A B C SEM USAR A FÓRMULA DE VOLUME.
Passo 1
O enunciado dá o plano \pi:\;x+y+2z=1 e o ponto D=(1,1,1). As perguntas pedem, entre outras coisas:
(a) uma parametrização do plano \pi e três pontos A,B,C nele contidos que formem um triângulo (ou seja, estejam no plano e não sejam colineares);
(b) classificar os ângulos do triângulo ABC usando produto escalar;
(c) calcular a altura do triângulo relativa ao lado AB usando projeção ortogonal;
(d) achar uma reta m passando por D e perpendicular à reta que contém a aresta AB;
(e) achar a reta l por D perpendicular ao plano \pi e o ponto de interseção l\cap\pi;
(f) achar uma reta s e um plano \pi_2 passando por D e paralelos a \pi, e dizer quantas retas/planos têm essas propriedades;
(g) equação do plano que contém a face DAB;
(h) mostrar que A,B,C,D são vértices de uma pirâmide ABCD, calcular o volume usando produto misto e calcular a altura relativa à base ABC sem usar a fórmula de volume.
Informações relevantes já explícitas:
Equação do plano: \;x+y+2z=1.
Ponto externo dado: D=(1,1,1).
A resolução começa agora.
Passo 2
(a) Parametrização do plano \pi. Método e ideia: escolher duas variáveis livres (parâmetros) e expressar a terceira em função delas. Tomando s e t como parâmetros, ponho x=s,\;y=t. Da equação do plano:
Isto significa que um ponto qualquer do plano é \big(s,\;t,\;(1-s-t)/2\big).
Agora escolho três pontos simples da parametrização que fiquem no plano e sejam fáceis de manipular: tomar (s,t)=(0,0),(1,0),(0,1). Assim:
A=\mathbf{r}(0,0)=\big(0,0,\tfrac12\big).
B=\mathbf{r}(1,0)=\big(1,0,0\big).
C=\mathbf{r}(0,1)=\big(0,1,0\big).
Verificação: cada ponto satisfaz a equação do plano (mostro para A: 0+0+2\cdot\tfrac12=1; para B: 1+0+0=1; para C: 0+1+0=1). Para garantir que A,B,C não são colineares, calculo os vetores \overrightarrow{AB} e \overrightarrow{AC}:
Se fossem colineares um seria múltiplo escalar do outro; claramente não é o caso (um tem componente x não nula, o outro tem x=0). Logo A,B,C formam um triângulo contido em \pi.]
Passo 3
(b) Classificação dos ângulos do triângulo ABC usando produto escalar. Lembrete rápido (produto escalar e classificação):
Produto escalar de vetores \mathbf{u} e \mathbf{v}: \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}=|\mathbf{u}\,||\mathbf{v}\,|\cos\theta, onde \theta é o ângulo entre eles.
Se \mathbf{u}\cdot\mathbf{v}>0 então \cos\theta>0\Rightarrow\theta é agudo; se igual a 0 então \theta é reto; se <0 então obtuso.
Para \angle B uso os vetores que se encontram em B: \overrightarrow{BA}= -\overrightarrow{AB}=(-1,0,\tfrac12) e \overrightarrow{BC}=C-B=(-1,1,0). Produto escalar:
Para \angle C seria análogo (ou usar simetria do triângulo, já que |AB|=|AC| e a forma dos vetores mostra positividade). Logo todos os ângulos internos são agudos; o triângulo ABC é um triângulo acutângulo.
Passo 4
(c) Altura do triângulo ABC relativa ao lado AB usando projeção ortogonal. Procedimento: a altura relativa a AB é a distância do vértice C à reta que contém AB. Faço a projeção ortogonal de \overrightarrow{AC} sobre \overrightarrow{AB} e subtraio para obter a componente perpendicular; a norma dessa componente é a altura.
Uma forma alternativa (checando): h=\dfrac{|\overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}|}{|\overrightarrow{AB}|} dá o mesmo resultado.
Portanto a altura relativa a AB é h=\sqrt{\tfrac{6}{5}}.
Passo 5
(d) Determinar uma reta [m) passando por D e perpendicular à reta determinada por AB. Interpretação: quer-se a perpendicularidade entre retas no sentido usual em \mathbb{R}^3, ou seja, a reta procurada deve intersectar a reta AB e formar um ângulo reto — isso é a perpendicular comum do ponto D à reta AB (a única reta que passa por D e intersecta AB de modo ortogonal é a perpendicular projetiva).
Processo: encontro o pé da perpendicular P de D sobre a reta AB. Use projeção de \overrightarrow{AD} sobre \overrightarrow{AB}.
Temos A=(0,0,\tfrac12), D=(1,1,1), logo
\overrightarrow{AD}=D-A=(1,1,\tfrac12).
Já \overrightarrow{AB}=(1,0,-\tfrac12) e |\overrightarrow{AB}|^2=\tfrac54. Produto escalar \overrightarrow{AD}\cdot\overrightarrow{AB}=1\cdot1+1\cdot0+\tfrac12\cdot(-\tfrac12)=1-\tfrac14=\tfrac34. O parâmetro para o pé é
A reta m é a reta que passa por D e por P. Um vetor diretor é \overrightarrow{DP}=P-D=\big(-\tfrac{2}{5},-1,-\tfrac{4}{5}\big), que é proporcional a (2,5,4) (multiplicando por -5). Assim uma equação paramétrica conveniente para m é, por exemplo,
l\cap\pi = D + \Big(-\tfrac12\Big)\mathbf{n} =\Big(1-\tfrac12,\,1-\tfrac12,\,1-1\Big)=\Big(\tfrac12,\tfrac12,0\Big).]
Passo 7
(f) Determinar uma reta [s) e um plano \pi_2 passando por D e paralelos ao plano \pi. Contar quantas retas e quantos planos com essas propriedades existem.
Plano \pi_2 paralelo a \pi e passando por D: um plano paralelo tem mesmo vetor normal \mathbf{n}=(1,1,2). Usando a forma \mathbf{n}\cdot(\mathbf{x}-D)=0, obtemos
Há exatamente um plano paralelo a \pi que passa por um dado ponto D — portanto um único plano com essa propriedade.
Reta s passando por D e paralela ao plano \pi: uma reta é paralela a um plano se o seu vetor diretor é ortogonal ao normal do plano, isto é, se seu vetor diretor \mathbf{v} satisfaz \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0. Existem infinitos vetores não nulos ortogonais a \mathbf{n}, por exemplo os vetores que geram a própria parametrização do plano: (1,0,-\tfrac12) e (0,1,-\tfrac12) estão no plano \pi, então posso escolher uma delas como direção. Por exemplo tomar a direção \overrightarrow{AB}=(1,0,-\tfrac12) dá a reta
s:\qquad \begin{cases} x=1+u,\\[4pt] y=1,\\[4pt] z=1-\tfrac12 u, \end{cases}\quad u\in\mathbb{R},
que passa por D\] e é paralela ao plano \(\pi. Em realidade existem infinitas retas por D paralelas a \pi porque há infinitas direções contidas no plano. Portanto resposta: infinitas retas; exatamente um plano.]
Passo 8
(g) Determinar a equação geral do plano contendo a face DAB.
O plano que contém D,A,B pode ser obtido tomando dois vetores do plano e fazendo seu produto vetorial para achar um normal. Usei anteriormente:
Multiplicando por 2 para obter inteiros, um normal conveniente é (1,-2,2). Usando o ponto D=(1,1,1), a equação do plano é
1\cdot(x-1) -2\cdot(y-1) +2\cdot(z-1)=0,
ou seja, em forma geral
x-2y+2z=1.
Verifique: A,B,D satisfazem essa equação.]
Passo 9
(h) Mostrar que A,B,C,D são vértices de uma pirâmide ABCD e calcular o volume usando produto misto; calcular a altura relativa à base ABC sem usar a fórmula de volume.
Primeiro, base ABC está contida no plano \pi (já verificado) e D não está em \pi porque substituindo D na equação de \pi dá 1+1+2\cdot1=4\neq1. Assim D está fora do plano da base, logo os quatro pontos formam os vértices de uma pirâmide com base triangular ABC e vértice D.
Volume por produto misto: para uma pirâmide de base triangular ABC e vértice D, o volume é
Altura relativa à base ABC sem usar a fórmula de volume: é a distância do ponto D ao plano que contém ABC, isto é, ao plano \pi de equação x+y+2z=1. Fórmula da distância de um ponto P_0 à um plano ax+by+cz+d=0 é
\operatorname{dist}=\frac{|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}.
No nosso caso, escrevendo \pi como 1\cdot x +1\cdot y +2\cdot z -1=0, para D=(1,1,1) temos numerador |1+1+2-1|=|3|=3 e denominador \sqrt{1+1+4}=\sqrt{6}. Assim a altura relativa à base ABC é
(d) Uma reta m perpendicular a AB passando por D (quantidade única que intersecta AB ortogonalmente): m:\;x=1+2\lambda,\;y=1+5\lambda,\;z=1+4\lambda,\\ \lambda\in\mathbb{R}.
(e) Reta l perpendicular a \pi por D: l:\;x=1+t,\;y=1+t,\;z=1+2t,\\ t\in\mathbb{R}. Interseção l\cap\pi=\big(\tfrac12,\tfrac12,0\big).
(f) Exemplo de reta s por D e paralela a \pi: s:\;x=1+u,\;y=1,\;z=1-\tfrac12 u,\\ u\in\mathbb{R}. Plano \pi_2 por D paralelo a \pi: \pi_2:\;x+y+2z=4. Existem infinitas retas com essa propriedade e exatamente um plano.
(g) Equação do plano contendo DAB: x-2y+2z=1.
(h) A,B,C,D formam uma pirâmide ABCD. Volume V=\dfrac{1}{4}. Altura relativa à base ABC: h_{D\to ABC}=\dfrac{3}{\sqrt{6}}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}.