(2,0 pontos) Escreva a integral que dá a área da região compreendida entre o eixo x, o eixo y e a reta y=2-x.

Passo 1

O que o enunciado pede: escrever a integral que representa a área da região limitada pelo eixo x, pelo eixo y e pela reta y=2-x.
Informações dadas:
  • A reta é y=2-x.
  • O eixo x é a reta y=0.
  • O eixo y é a reta x=0.

Passo 2

Vamos achar os pontos de interseção entre essas curvas — isso nos dá os limites da região.
Interseção da reta com o eixo y (ou seja, em x=0):
y(0)=2-0=2.
Logo há o ponto (0,2).
Interseção da reta com o eixo x (ou seja, onde y=0):
0=2-x \quad\Rightarrow\quad x=2.
Logo há o ponto (2,0).
Também a origem (0,0) é canto da região (interseção dos eixos). Assim a região é o triângulo com vértices (0,0), (0,2) e (2,0).

Passo 3

Ideia para montar a integral: quando a região é “simples” em relação ao eixo x (cada x entre a e b tem uma única altura da região), a área A é dada por
A=\int_{a}^{b} \big(\text{função superior}(x)-\text{função inferior}(x)\big)\,dx.çãçã
Aqui:
  • a função superior é a reta \,y=2-x,
  • a função inferior é o eixo x, isto é \,y=0,
  • os limites em x vão de a=0 (interseção com o eixo y) até b=2 (interseção com o eixo x).

Passo 4

Aplicando a fórmula com os dados acima, a integral que dá a área é
\int_{0}^{2}(2-x)\,dx.
Como checagem rapidinha (opcional): avaliando a integral
\int_{0}^{2}(2-x)\,dx=\left[2x-\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2}= \big(4-2\big)-0=2,
ou seja, a área vale 2 unidades de área.

Resposta

\int_{0}^{2}(2-x)\,dx

Exercícios relacionados