(2,0 pontos) Escreva a integral que dá a área da região compreendida entre o eixo
, o eixo
e a reta
.
Passo 1
O que o enunciado pede: escrever a integral que representa a área da região limitada pelo eixo
, pelo eixo
e pela reta
.
Informações dadas:
- A reta é
. - O eixo
é a reta . - O eixo
é a reta .
Passo 2
Vamos achar os pontos de interseção entre essas curvas — isso nos dá os limites da região.
Interseção da reta com o eixo
(ou seja, em
):
Logo há o ponto
.
Interseção da reta com o eixo
(ou seja, onde
):
Logo há o ponto
.
Também a origem
é canto da região (interseção dos eixos). Assim a região é o triângulo com vértices
,
e
.
Passo 3
Ideia para montar a integral: quando a região é “simples” em relação ao eixo
(cada
entre
e
tem uma única altura da região), a área
é dada por
Aqui:
- a função superior é a reta
, - a função inferior é o eixo
, isto é , - os limites em
vão de (interseção com o eixo ) até (interseção com o eixo ).
Passo 4
Aplicando a fórmula com os dados acima, a integral que dá a área é
Como checagem rapidinha (opcional): avaliando a integral
ou seja, a área vale
unidades de área.