Em um acampamento de escoteiros foram separadas três equipes, chamadas de equipes A, B e C, e a cada uma delas foi designada uma tarefa. As tarefas das equipes A e B eram partir da base do acampamento seguindo em linha reta em direções formando um ângulo reto, até encontrarem uma fonte de água para abastecer o acampamento. O trabalho da equipe C era de, após as equipes A e B encontrarem as fontes de água, mudar o local da base do acampamento para um ponto na mesma linha seguida pela equipe que percorreu o maior caminho, de modo que as distâncias entre o acampamento e as fontes fossem iguais. Sabendo que a equipe A percorreu 600 m e que a equipe B percorreu 800 m , quantos metros percorreu a equipe C ?
a) 125 m
b) 175 m
c) 625 m
d) 600 m
e) 200 m

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (sem resolver ainda).
  • Foi separada uma base do acampamento e três equipes A, B, C.
  • As equipes A e B partiram da base em linhas retas formando um ângulo reto entre si.
  • A equipe A percorreu \,600\\ \text{m}.
  • A equipe B percorreu \,800\\ \text{m}.
  • Após isso, a equipe C deve mudar o local da base para um ponto sobre a mesma linha seguida pela equipe que percorreu o maior caminho, de modo que as distâncias do novo acampamento até as duas fontes (os pontos onde A e B chegaram) sejam iguais.
  • O enunciado pede: quantos metros a equipe C percorreu (ou seja, quanto a base foi deslocada ao longo do trajeto da equipe de maior caminho)?

Passo 2

Escolher um sistema de coordenadas e representar geometricamente o problema de forma simples.
  • Coloco a base original no ponto O=(0,0).
  • Como os caminhos de A e B formam um ângulo reto, escolho o eixo x na direção do caminho da equipe B e o eixo y na direção do caminho da equipe A.
  • Assim, a fonte encontrada por B fica em B_f=(\,800,0\,) porque B andou \,800\\ \text{m} ao longo do eixo x.
  • A fonte encontrada por A fica em A_f=(\,0,600\,) porque A andou \,600\\ \text{m} ao longo do eixo y.
  • A equipe C move a base ao longo da linha seguida por B, isto é, ao longo do eixo x. Seja o novo local da base N=(\,d,0\,), com d\ge 0. A distância que C percorre é exatamente \,d metros (deslocamento ao longo do eixo x a partir da origem).

Passo 3

Escrever a condição que define d: as distâncias de N até as duas fontes devem ser iguais.
  • A distância entre dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) no plano é dada pela fórmula da distância, que vem do Teorema de Pitágoras:
\text{dist}=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}.
  • Aplicando para N=(\,d,0\,) e A_f=(\,0,600\,), a distância NA é
NA=\sqrt{(d-0)^2+(0-600)^2}=\sqrt{d^2+600^2}.
  • Aplicando para N=(\,d,0\,) e B_f=(\,800,0\,), a distância NB é
NB=\sqrt{(d-800)^2+(0-0)^2}=|d-800|.
  • A condição do enunciado é NA=NB. Portanto:
\sqrt{d^2+600^2}=|d-800|.

Passo 4

Resolver a equação para d. Primeiro tratamos o valor absoluto.
  • Como NB=|d-800| e a raiz quadrada é não negativa, podemos elevar ao quadrado ambos os lados (levando cuidado com sinais). Ao elevar ao quadrado eliminamos o valor absoluto:
d^2+600^2=(d-800)^2.
  • Desenvolvendo o lado direito:
d^2+600^2=d^2-2\cdot800\cdot d+800^2.
  • Cancelando d^2 dos dois lados:
600^2=-1600d+800^2.
  • Substituindo os quadrados numéricos ( 600^2=360000 e 800^2=640000):
360000=-1600d+640000.
  • Isolando d:
-1600d=360000-640000=-280000,
d=\frac{-280000}{-1600}=\frac{280000}{1600}.
  • Simplificando:
d=\frac{280000}{1600}=175.

Passo 5

Interpretação, verificação e comentário didático.
  • Encontramos d=175. Isso significa que a equipe C deve deslocar a base \,175\\ \text{m} ao longo do trajeto da equipe B (no eixo x).
  • Verificação rápida: calcule as distâncias a partir de N=(175,0).
NA=\sqrt{175^2+600^2}=\sqrt{30625+360000}=\sqrt{390625}=625,
NB=|175-800|=625.
Como NA=NB=625\\ \text{m}, a condição é satisfeita — ótimo sinal de que o cálculo está correto.
  • Observação prática: geometricamente, N é o ponto sobre o eixo x que tem mesma distância às duas pontas de um segmento perpendicular formado por (0,600) e (800,0). O procedimento usado (colocar coordenadas e igualar distâncias) é uma técnica padrão e rápida para esse tipo de problema.

Resposta

b) 175\\ \text{m}

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