Em um acampamento de escoteiros foram separadas três equipes, chamadas de equipes
e
, e a cada uma delas foi designada uma tarefa. As tarefas das equipes
e
eram partir da base do acampamento seguindo em linha reta em direções formando um ângulo reto, até encontrarem uma fonte de água para abastecer o acampamento. O trabalho da equipe
era de, após as equipes
e
encontrarem as fontes de água, mudar o local da base do acampamento para um ponto na mesma linha seguida pela equipe que percorreu o maior caminho, de modo que as distâncias entre o acampamento e as fontes fossem iguais. Sabendo que a equipe
percorreu 600 m e que a equipe
percorreu 800 m , quantos metros percorreu a equipe
?
a) 125 m
b) 175 m
c) 625 m
d) 600 m
e) 200 m
a) 125 m
b) 175 m
c) 625 m
d) 600 m
e) 200 m
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que é pedido (sem resolver ainda).
- Foi separada uma base do acampamento e três equipes
. - As equipes
e partiram da base em linhas retas formando um ângulo reto entre si. - A equipe
percorreu . - A equipe
percorreu . - Após isso, a equipe
deve mudar o local da base para um ponto sobre a mesma linha seguida pela equipe que percorreu o maior caminho, de modo que as distâncias do novo acampamento até as duas fontes (os pontos onde e chegaram) sejam iguais. - O enunciado pede: quantos metros a equipe
percorreu (ou seja, quanto a base foi deslocada ao longo do trajeto da equipe de maior caminho)?
Passo 2
Escolher um sistema de coordenadas e representar geometricamente o problema de forma simples.
- Coloco a base original no ponto
. - Como os caminhos de
e formam um ângulo reto, escolho o eixo na direção do caminho da equipe e o eixo na direção do caminho da equipe . - Assim, a fonte encontrada por
fica em porque andou ao longo do eixo . - A fonte encontrada por
fica em porque andou ao longo do eixo . - A equipe
move a base ao longo da linha seguida por , isto é, ao longo do eixo . Seja o novo local da base , com . A distância que percorre é exatamente metros (deslocamento ao longo do eixo a partir da origem).
Passo 3
Escrever a condição que define
: as distâncias de
até as duas fontes devem ser iguais.
- A distância entre dois pontos
e no plano é dada pela fórmula da distância, que vem do Teorema de Pitágoras:
- Aplicando para
e , a distância é
- Aplicando para
e , a distância é
- A condição do enunciado é
. Portanto:
Passo 4
Resolver a equação para
. Primeiro tratamos o valor absoluto.
- Como
e a raiz quadrada é não negativa, podemos elevar ao quadrado ambos os lados (levando cuidado com sinais). Ao elevar ao quadrado eliminamos o valor absoluto:
- Desenvolvendo o lado direito:
- Cancelando
dos dois lados:
- Substituindo os quadrados numéricos (
e ):
- Isolando
:
- Simplificando:
Passo 5
Interpretação, verificação e comentário didático.
- Encontramos
. Isso significa que a equipe deve deslocar a base ao longo do trajeto da equipe (no eixo ). - Verificação rápida: calcule as distâncias a partir de
.
Como
, a condição é satisfeita — ótimo sinal de que o cálculo está correto.
- Observação prática: geometricamente,
é o ponto sobre o eixo que tem mesma distância às duas pontas de um segmento perpendicular formado por e . O procedimento usado (colocar coordenadas e igualar distâncias) é uma técnica padrão e rápida para esse tipo de problema.
Resposta
b)