Sobre os lados \mathbf{A B} e \mathbf{A C} do triângulo \mathbf{A B C}, são marcados os pontos \mathbf{D} e \mathbf{E}, respectivamente, de tal forma que \mathbf{D E} / / \mathbf{B C}, \mathbf{A E}=\mathbf{6 c m}, \mathbf{D B}=\mathbf{2 ~ c m}, \mathbf{E C}=\mathbf{3 ~ c m} e \mathbf{D E}=\mathbf{8 ~ c m}. Nessas condições, DETERMINE a soma das medidas dos segmentos AD e BC, em centímetros.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
  • Triângulo A B C.
  • Pontos D em A B e E em A C tais que D E \parallel B C.
  • Medidas dadas: \;A E=6\\ \text{cm},\;D B=2\\ \text{cm},\;E C=3\\ \text{cm},\;D E=8\\ \text{cm}.
    O enunciado pede: determinar a soma das medidas dos segmentos A D e B C, em centímetros.

Passo 2

Vamos definir incógnitas e expressar os comprimentos conhecidos em termos delas.
  • Seja \,A D = x (em cm). Então A B = A D + D B = x + 2.
  • Sabemos A E = 6 e E C = 3, portanto A C = A E + E C = 6 + 3 = 9.
  • Seja B C = y (em cm). Queremos A D + B C = x + y.

Passo 3

Explicação teórica necessária (bem mastigada): quando um segmento que liga dois lados de um triângulo é paralelo à base, formam-se dois triângulos semelhantes. Mais precisamente, se D E \parallel B C, então os triângulos A D E e A B C são semelhantes. Isso significa que os lados correspondentes são proporcionais; podemos escrever a mesma razão (chame-a de razão de semelhança k) para os pares correspondentes:
\frac{A D}{A B}=\frac{A E}{A C}=\frac{D E}{B C}.
Aqui cada fração compara lados correspondentes: por exemplo, \dfrac{A E}{A C} é a razão entre os lados que saem de A nos dois triângulos, e \dfrac{D E}{B C} compara as bases correspondentes.

Passo 4

Usando a proporção \dfrac{A E}{A C} podemos achar a razão de semelhança k. Substituindo os valores conhecidos:
\frac{A E}{A C}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}.
Portanto a razão de semelhança é k=\dfrac{2}{3}. Isso implica, especificamente,
\frac{A D}{A B}=\frac{2}{3}.
Substituindo A D=x e A B=x+2 obtemos a equação
\frac{x}{x+2}=\frac{2}{3}.
Resolvendo passo a passo: multiplicando em cruz,
3x=2(x+2).
Desenvolvendo o lado direito,
3x=2x+4.
Isolando x,
3x-2x=4 \quad\Rightarrow\quad x=4.
Logo A D=4\\ \text{cm}. (Verificação rápida: então A B=4+2=6 e \dfrac{A D}{A B}=\dfrac{4}{6}=\dfrac{2}{3}, consistente.)

Passo 5

Agora usamos a terceira igualdade da semelhança, \dfrac{D E}{B C}=\dfrac{2}{3}. Substituindo D E=8 e B C=y:
\frac{8}{y}=\frac{2}{3}.
Resolvendo para y:
y=\frac{3}{2}\cdot 8.
Calculemos:
y=\frac{3\cdot 8}{2}=\frac{24}{2}=12.
Portanto B C=12\\ \text{cm}.

Passo 6

Finalmente somamos os dois comprimentos encontrados:
A D + B C = 4 + 12 = 16\\ \text{cm}.
Parabéns — chegamos ao resultado de forma direta usando a semelhança gerada por D E \parallel B C.

Resposta

16 cm

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