Sobre os lados
e
do triângulo
, são marcados os pontos
e
, respectivamente, de tal forma que
e
. Nessas condições, DETERMINE a soma das medidas dos segmentos AD e BC, em centímetros.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede.
- Triângulo
. - Pontos
em e em tais que . - Medidas dadas:
O enunciado pede: determinar a soma das medidas dos segmentose , em centímetros.
Passo 2
Vamos definir incógnitas e expressar os comprimentos conhecidos em termos delas.
- Seja
(em cm). Então . - Sabemos
e , portanto . - Seja
(em cm). Queremos .
Passo 3
Explicação teórica necessária (bem mastigada): quando um segmento que liga dois lados de um triângulo é paralelo à base, formam-se dois triângulos semelhantes. Mais precisamente, se
, então os triângulos
e
são semelhantes. Isso significa que os lados correspondentes são proporcionais; podemos escrever a mesma razão (chame-a de razão de semelhança
) para os pares correspondentes:
Aqui cada fração compara lados correspondentes: por exemplo,
é a razão entre os lados que saem de
nos dois triângulos, e
compara as bases correspondentes.
Passo 4
Usando a proporção
podemos achar a razão de semelhança
. Substituindo os valores conhecidos:
Portanto a razão de semelhança é
. Isso implica, especificamente,
Substituindo
e
obtemos a equação
Resolvendo passo a passo: multiplicando em cruz,
Desenvolvendo o lado direito,
Isolando
,
Logo
. (Verificação rápida: então
e
, consistente.)
Passo 5
Agora usamos a terceira igualdade da semelhança,
. Substituindo
e
:
Resolvendo para
:
Calculemos:
Portanto
.
Passo 6
Finalmente somamos os dois comprimentos encontrados:
Parabéns — chegamos ao resultado de forma direta usando a semelhança gerada por
.
Resposta
16 cm