( 2,0 pontos) Escreva, usando coordenadas cilíndricas, a integral que fornece a massa de um corpo com densidade \delta(x, y, z)=x^{2}+z^{2} e cujo formato ocupa a região do espaço delimitada lateralmente pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4, inferiormente pelo plano x y e superiormente pelo cone z=4-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • Densidade do corpo: \delta(x,y,z)=x^{2}+z^{2}.
  • Região ocupada pelo corpo:
    • Lateralmente: pelo cilindro x^{2}+y^{2}=4.
    • Inferiormente: pelo plano xy, isto é z=0.
    • Superiormente: pelo cone dado por z=4-\sqrt{x^{2}+y^{2}}.
  • O que se pede: escrever, usando coordenadas cilíndricas, a integral tripla que dá a massa do corpo (ou seja, a integral de densidade sobre o volume).

Passo 2

Apresentar as coordenadas cilíndricas e o elemento de volume (aula rápida).
  • Nas coordenadas cilíndricas define-se x = r\cos\theta,\qquad y = r\sin\theta,\qquad z=z,onde r\ge 0 é a distância ao eixo z, \theta é o ângulo polar no plano xy e z é a altura.
  • O jacobiano da mudança de variáveis (x,y,z)\mapsto(r,\theta,z) é r. Isso significa que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é dV = r\,dr\,d\theta\,dz.
  • Significado das variáveis: r mede a distância radial no plano xy, \theta gira em torno do eixo z e z é a altura vertical.

Passo 3

Expressar a densidade em coordenadas cilíndricas.
  • Substituindo x = r\cos\theta em \delta(x,y,z)=x^{2}+z^{2} obtemos \delta(r,\theta,z)= (r\cos\theta)^{2} + z^{2} = r^{2}\cos^{2}\theta + z^{2}.

Passo 4

Determinar os limites de integração do domínio em coordenadas cilíndricas.
  • A superfície lateral x^{2}+y^{2}=4 corresponde a r^{2}=4\Rightarrow r=2. Portanto 0\le r\le 2.
  • O plano inferior z=0 dá a fronteira inferior em z: z_{\text{min}}=0.
  • A superfície superior z=4-\sqrt{x^{2}+y^{2}} em coordenadas cilíndricas é z=4-r. Para 0\le r\le 2 essa é a cota superior: z_{\text{max}}=4-r.
  • O ângulo \theta percorre a volta completa em torno do eixo: 0\le \theta\le 2\pi.

Passo 5

Montar a integral tripla que dá a massa e simplificar o integrando ao incluir o jacobiano.
  • A massa M é dada por M=\iiint_{V}\delta(x,y,z)\,dV.Em coordenadas cilíndricas, com dV=r\,dr\,d\theta\,dz e \delta=r^{2}\cos^{2}\theta+z^{2}, escolhemos integrar primeiro em z (entre 0 e 4-r), depois em r (entre 0 e 2) e por fim em \theta (entre 0 e 2\pi). Assim o integrando fica (r^{2}\cos^{2}\theta+z^{2})\;r = r^{3}\cos^{2}\theta + r z^{2}.
  • Portanto a integral que fornece a massa é \int_{\theta=0}^{2\pi}\int_{r=0}^{2}\int_{z=0}^{4-r}\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta+z^{2}\bigr)\,r\;dz\,dr\,d\theta,que é exatamente a expressão pronta para calcular M.

Resposta

M=\int_{0}^{2\pi}\int_{0}^{2}\int_{0}^{4-r}\bigl(r^{2}\cos^{2}\theta+z^{2}\bigr)\,r\,dz\,dr\,d\theta

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