( 2,0 pontos) Escreva, usando coordenadas cilíndricas, a integral que fornece a massa de um corpo com densidade
e cujo formato ocupa a região do espaço delimitada lateralmente pelo cilindro
, inferiormente pelo plano
e superiormente pelo cone
.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que pede (sem resolver ainda).
- Densidade do corpo:
. - Região ocupada pelo corpo:
- Lateralmente: pelo cilindro
. - Inferiormente: pelo plano
, isto é . - Superiormente: pelo cone dado por
.
- Lateralmente: pelo cilindro
- O que se pede: escrever, usando coordenadas cilíndricas, a integral tripla que dá a massa do corpo (ou seja, a integral de densidade sobre o volume).
Passo 2
Apresentar as coordenadas cilíndricas e o elemento de volume (aula rápida).
- Nas coordenadas cilíndricas define-se
onde é a distância ao eixo , é o ângulo polar no plano e é a altura. - O jacobiano da mudança de variáveis
é . Isso significa que o elemento de volume em coordenadas cilíndricas é - Significado das variáveis:
mede a distância radial no plano , gira em torno do eixo e é a altura vertical.
Passo 3
Expressar a densidade em coordenadas cilíndricas.
- Substituindo
em obtemos
Passo 4
Determinar os limites de integração do domínio em coordenadas cilíndricas.
- A superfície lateral
corresponde a . Portanto . - O plano inferior
dá a fronteira inferior em : . - A superfície superior
em coordenadas cilíndricas é . Para essa é a cota superior: . - O ângulo
percorre a volta completa em torno do eixo: .
Passo 5
Montar a integral tripla que dá a massa e simplificar o integrando ao incluir o jacobiano.
- A massa
é dada por Em coordenadas cilíndricas, com e , escolhemos integrar primeiro em (entre e ), depois em (entre e ) e por fim em (entre e ). Assim o integrando fica - Portanto a integral que fornece a massa é
que é exatamente a expressão pronta para calcular .